2013-12-17

Aljebran trebatzen

Aljebraren hastapenak nahiko gogorrak izaten dira ikasle askorentzat. Aritmetikan urteetan trebatu ondoren, letrekin lan egitera jauzia bat-batean egiten da, eta batzuk amildegira erortzen dira. Ulertezina egiten zaizkie adierazpen aljebraikoak, ez diete zentzu handirik aurkitzen. Agian, ez daudelako ohituta zenbakiak era askotan adierazi daitezkela ikusten; hau da, bost adierazteko eskatzen badiezu, guztiek 5 idatziko dute; baina zergaitik ez 6-1 edo 100/20 edo 1+2·7-2·3-2^2 edo... Identitate aritmetikoak ulertzea ezinbestekoa da, identitate aljebraikoak ulertu ahal izateko.
Hona hemen IXL jarduera batzuk monomioen arteko eragiketak lantzeko; hau da, identitate aljebraikoak idazten trebatzeko.

  MONOMIOEN ARTEKO ERAGIKETAK

Pitagorasen Teoremaren zenbait egiaztapen geometriko


Pitagorasen teorema ospe  edo entzute handiko teorema dugu. Kale mailan teoremarik ezagunena da, bakarra ez bada. Baina, teoremaren egiaztapenak, aldiz, ez dira ez kale mailan, ez eskola mailan horren ezagunak, 360 iguruko egiaztapen egon arren. Horien artean egiaztapen geometrikoek edertasun berezia dute, aho zabalik usteko modukoak dira.
Gaur egun DBH-ko geletan egiaztapen hauek erakustea lan erraza dugu Manuel Sadak Geogebran egindako appletak erabiliz; ikusgarriak eta edoizenek ulertzeko modukoak.
Hona hemen horietako batzuk:

Ohiko egiaztapena
GeoGebra Lan-orri dinamikoa

Sorry, the GeoGebra Applet could not be started. Please make sure that Java 1.4.2 (or later) is installed and active in your browser (Click here to install Java now)

Honekin egina: GeoGebra



<Perigalen egiaztapena
GeoGebra Lan-orri dinamikoa

Sorry, the GeoGebra Applet could not be started. Please make sure that Java 1.4.2 (or later) is installed and active in your browser (Click here to install Java now)

Honekin egina: GeoGebra


Pappusen egiaztapena
GeoGebra Lan-orri dinamikoa

Sorry, the GeoGebra Applet could not be started. Please make sure that Java 1.4.2 (or later) is installed and active in your browser (Click here to install Java now)

Honekin egina: GeoGebra

2013-12-08

Geometriaz blai

 
Programa interaktiboek aukera paregabea ematen digute objektu geometrikoak bistaratzeko. Bisualizazioa matematikan, eta batez ere geometrian, ezinbestekoa da objektu matematikoen ezaugarri bereizleak eta objektu horien arteko erlazioak, hau da, azpiko  estrukturak aurkitzeko eta barneratzeko. Adibidez, Pitagorasen Teoremaren egiaztapena, Varignonen Teorema,...geometria programa interaktiboen laguntzaz errazago ulertzen ditugu. Nolabait esateko, irudi geometrikoek azaltzen dute Aljebrak egiaztatzen duena.  

JClic jarduera honetan DBH-ko bi zikloetako ia geometria guztia agertzen zaigu: Poligonoak, zirkunferentzia eta zirkuloa, angeluak, angeluak zirkunferentzian, irudi lauen perimetroak eta azalerak, eraikuntzak erregela eta konpasez, mugimenduak planoan, antzekotasuna, Thalesen Teorema, triangelu zuzenak, Altueraren eta Katetoaren Teoremak, trigonometriaren hastapena, gorputz geometrikoak,... eta baita geometria grekoaren historia ere.

 

2013-12-02

Monty Hall-en problema

1963tik 1990ra Estatu Batuetako telebistan Monty Hall-ek aurkezten zuen "Let's Make a Deal" lehiaketa programa emititu zuten. Programaren dinamika, hauxe da:

Programaren bukaera aldera lehiakideak itxita dauden hiru atetik bat aukeratu behar du, batean sari on bat dago eta beste biak hutsik daude. Ate bat aukeratutakoan, aurkezleak (honek ondo daki saria non dagoen) hutsik dagoen ate bat irekitzen du. Ondoren, aukera ematen dio lehiakideari aldatzeko, lehen aukeratu duen atea utzi eta bestea hautatu.
Zuk zer egingo zenuke? aldatu ala ez?

Problema hau "Monty Hall-en problema" izenarekin ezaguna da, eta oso historia polita du atzean:

Garai hartan oso ezaguna zen Marilyn vos Savat, Errekorren Guinness Liburuan agertzen zen munduko koefiziente intelektual handiena zuelako, 228 balioarekin. Marilyn-ek "Preguntas a Marilyn" egunkari zutabean idazten zuen. Behin, zera idatzi zuen: "¿Abantaila dago atea aldatzea erabakitzen bada?". "Bai, hobe da aldatzea". Kritikak handik eta hemendik iritsi zitzaizkion; 10.000 inguru gutun jaso zituen, horien artean irakasle eta matematikariek idatzitakoak ere: "irabazteko probabilitatea eta galtzekoa ere ate bat ireki ondoren 1/2 da", "aitortu zure akatsa, eta hurrengoan zuhurtasunez jokatu", "zenbat matematikari gehiagok idatzi behar dizute iritziz aldatzeko"...

Marilyn-ek arrazoia zeukan, eta idatzi zioten guztiek huts egin zuten. Atez aldatzen bada irabazteko probabilitatea nabarmen handitzen da (bikoiztu egiten da).
  
BNMV-tik hartutako appleta problema honen simulazioa egiteko aukera ematen digu. Oso erakargarria izan daiteke probabilitateen gaiari sarrera emateko, eta, bide batez, probabilitate problema batzuk ez direla batere intuitiboak ikusteko. DBH-ko 2. zikloan lantzen da probabilitatea, baina, 1. ziklokoan problema moduan aurkez daiteke.  Problema aurkeztu ondoren galdetuko diegu ea beraiek zer egingo luketen. Jarraian, planteatu dezakegu problema bera baina 100 aterekin: bat aukeratzen da eta hutsik dauden 98 ate ireki ondoren, aldatzeko aukera eman, ¿zer egingo zenukete kasu honetan?

Problema honi buruz: Suma aldizkaria
                                   Hiru ateen problema
 



Zoria eta intuizioa

Esperimento aleatorioei buruz ikasleek nolako intuizioak dituzten aztertzeko, ondorengo appleta erabil dezakegu.
 
Ikasle bakoitzari eskatuko diogu txanpon bat 20 aldiz jaurtitzerakoan atera daitezkeen emaitzak asmatu eta orri batean idazteko, baina esperimentua egin barik. Ondoren ariketa berdina simulazioaren bidez egin dezatela. Datu guztiak bildu eta emaitzak aztertzeari ekingo diogu.
 
Galderak: ¿Nola bereiz dezakegu sekuentzia aleatorioa eta asmatutakoa? ¿Zehazki 10 gurutze eta 10 aurpegi lortu behar ditugu ? ¿Posiblea al da 11 eta 9 lortzea? ¿Eta 18 eta 2?
 
Bi sekuentziak konparatzeko bakoitzean ikasleek lorturiko aurpegi kopurua aldagai moduan hartuko dugu. Balio maximoa, minimoa, gehien errepikatzen den balioa, barra diagramak, sektore diagramak,...kalkulatu eta irudikatu ondoren, konpareketa: ¿Zer berdintasun ikusten dira? ¿Eta desberdintasunak? ¿Gehien errepikatzen den balioa berdina al da bietan? ¿Ibilbide bera dute? ¿Emaitzak asmatzerakoan gure intuizioa zuzena izan dela uste duzu? ¿Bururatzen al zaizu grafiko mota bat bi banaketak era erraz batean konparatzeko? ...
 

 

2013-12-01

PISA: Matematika eta Problemak

Curriculumaren helburu nagusia ezagutzak transmititzea dela uste izateak konpetentzietan oinarritutako curriculuma estaltzen du. Kontzeptuak eta ezagutzak beharrezkoak badira ere, hauek ez dute bermatzen konpetentziaren garapena, partikularki konpetentzia matematikoa. Matematika, egiten ikasten da; beraz, klasean proposatzen diren jarduerak eta zereginak ondo aukeratzeak berebiziko garrantzia du. Ez daitezela bakarrik teoriaren aplikazio mekaniko hutsa izan, betiko ariketa "estuak", pentzatseko aukera handirik ematen ez dutenak eta testuingururik gabekoak.
 
PISA proiektuan proposatzen diren jarduerek, orokorrean, ez dute antza handirik klaseetan egiten direnekin; baina, nik uste dut matematika ugari dagoela jarduera horietan.
 
DBH-ko lehenengo eta bigarren zikloan lantzeko Red Educativa Digital Descartes (proiekto ASIPISA) Web orritik hartutakoak dira ondoko hauek: 


2013-11-28

Geometria eta intuizioa

Zenbatzea eta neurtzea izan dira hasieratik Matematikaren helburu nagusiak. Horrela jaio ziren zientzia honen hasierako adarrak: Aritmetika eta Geometria. Urtetan bi adar hauek oinarrizko matematikaren zati nagusienak eta funtzezkoenak  izan dira, eta hala isladatu da gure hezkuntza sisteman. Baina, azkeneko urteetan, Geometria indarra galduz joan da Derrigorrezko Bigarren hezkuntzan eta, ia desagertu da Batxilergoan; azken honetan geometria algebraikoaz jantzi delarik.

Derrigorrezko Hezkuntzari dagokionez, geometriako gaiak ikasturtearen amaieran ematen dira, eta ohikoa denez, denboraz larri ibiltzen garelako, aguro edo eman barik gelditzen dira; eta ematen direnean, askotan azalera eta bolumenen kalkulorako formulak ikastean bihurtzen da.

Geometria formula hutsak baino gehiago da, oso lotura estua du inguratzen gaituen errealitate fisikoarekin, eta errealitate hau hobeto ezagutzeko bidea zabaltzen digu. Ez da ahaztu behar ere alde ludikoa lantzeko ematen duen aukera eta intuizioa garatzeko duen indarra (intuizioak deskubritzen du eta logikak egiaztatzen du).
 
Hona hemen Freudenthal institutoaren applet batzuk intuizio geometrikoa lantzeko lagungarriak izan daitezkenak:


2013-11-24

Problemak ebazten

Matematika egitea problemak ebaztea da. Ondo ebaztea baino garratzitsuagoa da norberaren baliabideak eta estrategiak azaleratu eta ezezagunak diren bideetatik abiatu erantzunaren bila. Bidean, tarteka, erantzun zuzena aurkitzen da; besteetan, aldiz, berau ez da lortzen,baina ilusioa eta gogoa jartzen bada helburua bete da. Irakasleok honi eman beharko genioke garrantzia, eta horren arabera gure ikasleak ebaluatu, eta aldi berean, zergatik ez, ikasleekin batera gozatu problemak ebazten.

Problema Geometrikoak DBH-ko edozein mailatan landu daitezke:




https://www.thatquiz.org/es/practicetest?nx53etsy8le6
 


Ondorengo problemak Euskadiko Olinpiadetan ipinitakoak dira. Teorikoki DBH 2.mailako ikasleentzat proposatzen dira; baina 3 eta 4.mailetan ere erabil daitezke:

https://www.thatquiz.org/es/practicetest?nw5p8m7y8le1

https://https://www.thatquiz.org/es/practicetest?nw5p8m7y8le1






aaaaa

2013-11-20

Geometria

DBHko 3. zein 4. mailetan geometria lantzeak berebiziko garrantzia du, gerora irudi geometrikoak erraz identifikatu, konparatu, erlazionatu, neurtu eta estimatzerakoan arazorik izan ez dezaten. Thales-en teorema, Pitágoras-en teorema, poligonoetako erlazio angeluarrak, etabar. oso erabilgarriak eta lagungarriak dira helburu hori lortzeko. Baliabide digitalek aukera ezin hobea eskaintzen digute Geometriaren gaia aurkezteko; zalantza barik, bidea errazten digute. Baina geometria ere bada nolabaiteko irudiak eskuz egitea pentsamenduari laguntzeko (Poncairé-en hitzetan: "La Geometría es el arte de dibujar mal, y pensar bien").
Educaplus-tik ondorengo baliabide interaktiboak aukeratu ditut:

 
http://www.educaplus.org/play-185-Semejanza-de-triángulos.html

 
 
http://www.educaplus.org/play-177-Teorema-de-Pitágoras.html


http://www.educaplus.org/play-178-Ángulos-externos.html





2013-11-19

Funtzio lineala

3. DBH-n funtzioak, funtzioen grafikoak eta ezaugarriak aztertzen hasten gara. Ikasleei interpretazio matematiko hutsa baino errezagoa egiten zaie  adierazpen grafikoen interpretazioa egoera errealetan. Simulazio hau lagungarria izan daiteke funtzio linealaren  ekuaziotik grafikora eta adierazpen grafikotik ekuaziora igarotzeko erraztasunez,  baita maldak ematen duen informazioaz jabetzeko ere. Era honetan, kasu errealetan egiten duten interpretazioa aberatsagoa izango da.


Lerroak Marraztu
Egin klik hemen














 

2013-11-18

Problemen Ebazpena


Etapa:          DBH
Maila:           1-2-3-4.mailak
Ikasgaia:      Matematika
Blokea:        Problemen ebazpena.



Jarduera
Aukeratu erantzun egokia. Kontuan izan ez dela arkatza eta papela behar problemok ebazteko. Hazka egin buruari eta erantzun bildur barik.




Jarduera (berriz)
Aukeratu erantzun egokia. Kontuan izan ez dela arkatza eta papela behar problemok ebazteko. Hazka egin buruari eta erantzun bildur barik.

Problemen Ebazpena

2013-11-17

Biderkadura Nabariak

Etapa:         DBH
Maila:          4.maila
Irakasgaia: Matematika
Blokea:       Aljebra
Edukiak:     Polinomioen faktorizazioa.
                    Biderkadura Nabariak.

Jarduera
Biderkadura nabariak erabiliz erlazionatu eskumako adierazpen aljebraikoak dagozkien faktorizazioekin ezkerreko zutabean klikatuz:

Biderkadura Nabariak

2013-11-15

Matematika Interaktiboak

Sarrera hau "Matematika Interaktiboak" ikastarorako egiten dut bereziki.

Hona hemen zenbaki arrunten deskonposizio faktorialaren  animazio bat irudi geometrikoak erabiliz. Ederra benetan:

http://www.datapointed.net/visualizations/math/factorization/animated-diagrams/




Oharra: Antonio Pérez Sanz-en blogean aurkitu dut http://aperez4.blogspot.com.es/2012/11/animacion-de-descomposicion-factorial.html

2013-10-08

Bidertzeko prozedurak

Gure hezkuntza sisteman lehen hezkuntzako ikasleak berehala bustitzen dira biderkadura algoritmoaz, algoritmo honen oinarria den legea ulertzeko ahalmena garatu baino lehenago. Eta, ahalmen hori garatutakoan ere, ez dugu atzera egiten buruz ikasitako algoritmo horri azalpen bat emateko. Beharbada pentsa daiteke nahiko erraza dela, ez duela pena merezi haloko ikerketetan denbora galtzea; baina ez al da erraztasuna matematikaren helburuetako bat?

Historian zehar bidertzeko era desberdinak garatuak izan dira. Aipatzekoa da Luca Pacioli (1.445-1.509). Pacioli-k Summa de Aritmetica liburuan zortzi prozedura azaltzen ditu bi zenbaki arrunten biderkadura kalkulatzeko: Scachieri edo Bericuocoloren bidezkoa, Castellucio metodoa, Crocetta edo Casella, Gelosia edo Graticola,...
Metodo hauek aztertzea eta egungo metodaoarekin aldentzea lagungarria gerta lekioke ikasleari algoritmoaren barrua bereganatu eta zentzua emateko.

egin klik irudietan

Jarraian arabeengandik Paciolik harturiko sarearen metodoa azaltzen da:

GELOSIA EDO GRATICOLA-ren bidezko metodoa

Gelosiaren metodoan, koadro bat eratzen da; lehenengo biderkagaiaren zifra kopu beste zutabe eta bigarrenaren horrenbeste errenkadekin. Zenbakiak koadroaren kanpokaldean kokatzen dira (gorriz irudian) eta sarearen laukiak diagonal batez bitan zatitu ondoren zifraz zifra bidertzen ditugu emaitzak laukietan kokatuz irudian ikusten den moduan (biderkadura partzialen bat zifra bakarrekoa denean zero idatziko dugu aurretik. Ab.: 3x2=06). Azkenik, diagonal bereko zenbakiak (unitateak unitateekin, hamarrekoak hamarrikoekin,...) batu egiten dira (eramanak ahaztu barik) emaitzak kanpokaldean idatziz (berdez); hor agertzen zaigu biderkaduraren azkeneko emaitza:

GELOSIA EDO SAREAREN METODOA




Ondoren jatorriz oso aspaldikoak diren bi metodo azalduko ditugu: maiek erabiltzen zuten metodo grafikoa eta egiptiarren bikoizketa metodoa.


MAIEN BIDERKADURA

Unitate ugariko multzoen kontaketa egiteko marren bidez irudikatu eta multzoetan banatzea gizakiak aintzinatik erabili eta gaur egun ere erabiltzen duen teknika bat da. Maien zibilizazioak bidertzeko zeukan metodoak zenbatze edo kontaketaren printzipio hau du oinarri. Teknika honetan, lehenego biderkagaiaren unitateak, hamarrekoak, ehunekoak,...zuzen paraleloen bidez adierazten dira; zertxobait bereiztuz ordena bakoitzeko marrak. Era berean bigarren biderkagaiaren marrak marrazten dira, baina beste norabide batean, lehenegoarenak ebakiz eta era batean non ordena bereko unitateak bertikal berean dauden. Bertikalean dauden ebaki puntuak batuz dogokion ordenako unitateak lortzen dira eta azkenik emaitza. Argi denez, metodo hau ez da egokia zenbaki handiak bidertzeko.









BIKOIZKETA METODOA

Metodo hau egiptiarrek erabiltzen zuten. Batzen, bikoizten eta erdia kalkulatzen (akeneko hau ez beharrezkoa) besterik ez da jakin behar. Oinarri bitarra da prozedura honen funtsa.

egin klik irudian








Zenbaki lehenak

Zenbaki lehenak determinatzeko ezagutzen dugun metodorik zaharrena Kristo aurretiko III. mendean Eratostenes matematikariak Egiptoko Tolomeo erregeari aurkeztutakoa da. Eratostenesek taula batean lehenengo hiruzpalau mila zenbaki idatzi zituen, zenbaki konposatuak zulatuz. Erabili zuen metodoa Eratostenesen bahea izenarekin ezagutzen da.
Metodo hau praktikara eramateko ondoko prozedura aritmetiko-geometrikoa deigarria, erakargarria eta azkarra da:
Bitik hasita 6 zutabetako taula batean zenbaki arrunten segida idazten dugu. Era honetan zutabe bakoitzeko elementuak diferentzia 6 duen segida aritmetiko baten gaiak dira, n-garren gaia zutabeka ondokoa delarik,
  1. Zutabea: an1 = 2+(n-1)·6 = 6n-4
  2. Zutabea: an2 = 3+(n-1)·6 = 6n-3
  3. Zutabea: an3 = 4+(n-1)·6 = 6n-2
  4. Zutabea: an4 = 5+(n-1)·6 = 6n-1
  5. Zutabea: an5 = 6+(n-1)·6 = 6n
  6. Zutabea: an6 = 7+(n-1)·6 = 6n+1

Zera ondorioztatzen da:
  • Lehenengo zutabeko elementuak konposatuak dira (2 ezik); orduan, ezabatu.
  • Bigarren zutabekoak konposatuak dira (3 ezik); ezabatu.
  • Hirugarren eta bostgarren zutabeak ezabatzen dira, zenbaki guztiak konposatuak direlako.
  • Aurreko puntuetan 2,3 4 eta 6 zenbakien multiploak ezabatu ditugu.
  • 5,10,15,20 diagonal batean daude (ezabatu 5 ezik).
  • Aurreko lerroarekiko paralelo eta beheruntza 5ko distantziara 25,30,35,40,45,50 aurkitzen dira (ezabatu). Hurrengokoan 55,60,65,...ezabatu. Era honetan jarraituta 5ren multiplo guztiak desagertzen dira.
  • Ezabatu bariko hurrengo zenbaki lehena 7 da. Honen multiplo guztiak 7ko distantziara dauden diagonaletan eta paraleloki kokatuta aurkituko ditugu (ezabatu).
  • Berdin jokatuko dugu 11, 13 eta abarren multiploekin.
  • Ezabatu gabe gelditzen direnak zenbaki lehenak dira.

video


Zenbaki lehen baten multiploak zuzen diagonaletan daude. Galdera:
Zein da zuzen hauen malda?

2013-08-21

"9"arekin jolasean (3)


Bederatziarekin jolasten jarraituko dugu:

HIRU ZIFRAKO ZENBAKIA
Ikasle batek kapikua ez den hiru zifrako zenbaki bat aukeratu behar du. Ondoren, ehunekoen eta batekoen zifrak trukatu behar ditu zenbaki berri bat lortzeko. Aurreko bi zenbakien arteko diferentzia (handia ken txikia) kalkulatu eta diferentzia horren azkeneko zifra esaten badizu (berdin lehenengoarekin), diferentziaren beste bi zifrak asmatuko dituzu, guztiak aho zabalik utzita.


1089
Aurreko jokoaren aldaera bat da.
Aurretik iragarri azkeneko emaitza 1089 izango dela. Jarraian goiko jokuan egin dugun moduan jokatu. Kapikua ez den hiru zifrako zenbaki bat auketu (lehenengo zenbakia), ehunekoen eta batekoen zifrak trukatu (bigarrena),  diferentzia kalkulatu (hirugarrena), kenketaren emaitzean ere ehuneko eta batekoen zifrak trukatu (laugarrena) eta azkenik bi hauek (hirugarrena eta laugarrena) batu behar ditu ikaskideak. Hortxen dago aurresan dugun zenbakia: 1089.

Adibidea:
  • 328 aukeratutako zenbakia (lehenengoa)
  • 823 Ehunekoen eta batekoen zifrak trukatuta (bigarrena)
  • 823-328=495 diferentzia (hirugarrena)
  • 594 Ehunekoen eta batekoen zifrak trukatuta (laugarrena)
  • 495+594=1089 hirugarrena eta laugarrena batuz

Ea asmatzen duzun zergatia. Gogoratu hiru zifrako zenbaki baten idazkera hamarren berreduren menpe:  abc=100a+10b+c eta cba=100c+10b+a.

AZALPENA
 
 
Joku guzti hauek eta beste batzuk Suma  aldizkarian (52 zenbakian) aurki ditzakezue "Grupo Alquerque de Sevilla"ren eskutik "La Magia del Nueve" artikuluan.

"9"arekin jolasean (2)

Hona hemen bederatziaren ezaugarrietan oinarritzen den beste joku bat.

EZABATUTAKO ZIFRA
Ikaskideen aurrean boluntario bat eskatu laguntzeko eta ondorengo hauek egiteko eskatu::
  • 4 zifrako zenbaki bat pentsatzeko
  • Pentsatutako zenbakiaren zifren batura egiteko
  • Batura hori hasierako zenbakiari kentzeko
  • Kenketaren emaitzean zero ez den nahi duen zifra ezabatzeko
  • Ezabatu gabeko zifrak nahi duen ordenean zuri esateko.
Guztien harridurako, berehala lagunak ezabatutako zifra zein den asmatu egingo duzu.

Nola? Zertan oinarritzen da?  (gogoratu zenbaki bat 9ren multiploa izateko baldintza)

Saia zaitez azalpena bilatzen. 


2013-08-19

"9"arekin jolasean (1)

Bederatzia zenbaki emankorra eta jolastia dugu. Hainbat zenbaki eta kartetako joku bederatziaren propietate berezietan oinarritzen dira. Gure zenbaki sitemaren oinarria den 10ren horren gertu egoteak (unitate batera) badu zerikusirik. Ona hemen adibide bat:

BEDERATZIAREN MULTIPLOA
Jolastu lagun batekin ondoko eran,
  1. Bi zifrako zenbaki bat pentsatzeko esan (Ad.: 38)
  2. Zenbaki hori bider 10 egiteko (380)
  3. 90 baino txikiagoa den 9ren múltiplo bat aukeratzeko (18)
  4. Bigarren ataleko emaitzari kentzeko hirugarren atalean aukeratutakoa(380-18=362)
  5. Azkeneko emaitza esateko eskatu. Hasierako zenbakia errez asmatuko duzu (36+2=38)
Nahikoa duzu bostgarren pausoan lagunak esandako zenbakian unitateen zifra bereiztea eta gelditzen denari batzea.

Baina zergaitik? Zein da joku honen azalpen matematikoa?

Aljebra apur bat erabiltzea besterik ez duzu