2013-10-08

Bidertzeko prozedurak

Gure hezkuntza sisteman lehen hezkuntzako ikasleak berehala bustitzen dira biderkadura algoritmoaz, algoritmo honen oinarria den legea ulertzeko ahalmena garatu baino lehenago. Eta, ahalmen hori garatutakoan ere, ez dugu atzera egiten buruz ikasitako algoritmo horri azalpen bat emateko. Beharbada pentsa daiteke nahiko erraza dela, ez duela pena merezi haloko ikerketetan denbora galtzea; baina ez al da erraztasuna matematikaren helburuetako bat?

Historian zehar bidertzeko era desberdinak garatuak izan dira. Aipatzekoa da Luca Pacioli (1.445-1.509). Pacioli-k Summa de Aritmetica liburuan zortzi prozedura azaltzen ditu bi zenbaki arrunten biderkadura kalkulatzeko: Scachieri edo Bericuocoloren bidezkoa, Castellucio metodoa, Crocetta edo Casella, Gelosia edo Graticola,...
Metodo hauek aztertzea eta egungo metodaoarekin aldentzea lagungarria gerta lekioke ikasleari algoritmoaren barrua bereganatu eta zentzua emateko.

egin klik irudietan

Jarraian arabeengandik Paciolik harturiko sarearen metodoa azaltzen da:

GELOSIA EDO GRATICOLA-ren bidezko metodoa

Gelosiaren metodoan, koadro bat eratzen da; lehenengo biderkagaiaren zifra kopu beste zutabe eta bigarrenaren horrenbeste errenkadekin. Zenbakiak koadroaren kanpokaldean kokatzen dira (gorriz irudian) eta sarearen laukiak diagonal batez bitan zatitu ondoren zifraz zifra bidertzen ditugu emaitzak laukietan kokatuz irudian ikusten den moduan (biderkadura partzialen bat zifra bakarrekoa denean zero idatziko dugu aurretik. Ab.: 3x2=06). Azkenik, diagonal bereko zenbakiak (unitateak unitateekin, hamarrekoak hamarrikoekin,...) batu egiten dira (eramanak ahaztu barik) emaitzak kanpokaldean idatziz (berdez); hor agertzen zaigu biderkaduraren azkeneko emaitza:

GELOSIA EDO SAREAREN METODOA




Ondoren jatorriz oso aspaldikoak diren bi metodo azalduko ditugu: maiek erabiltzen zuten metodo grafikoa eta egiptiarren bikoizketa metodoa.


MAIEN BIDERKADURA

Unitate ugariko multzoen kontaketa egiteko marren bidez irudikatu eta multzoetan banatzea gizakiak aintzinatik erabili eta gaur egun ere erabiltzen duen teknika bat da. Maien zibilizazioak bidertzeko zeukan metodoak zenbatze edo kontaketaren printzipio hau du oinarri. Teknika honetan, lehenego biderkagaiaren unitateak, hamarrekoak, ehunekoak,...zuzen paraleloen bidez adierazten dira; zertxobait bereiztuz ordena bakoitzeko marrak. Era berean bigarren biderkagaiaren marrak marrazten dira, baina beste norabide batean, lehenegoarenak ebakiz eta era batean non ordena bereko unitateak bertikal berean dauden. Bertikalean dauden ebaki puntuak batuz dogokion ordenako unitateak lortzen dira eta azkenik emaitza. Argi denez, metodo hau ez da egokia zenbaki handiak bidertzeko.









BIKOIZKETA METODOA

Metodo hau egiptiarrek erabiltzen zuten. Batzen, bikoizten eta erdia kalkulatzen (akeneko hau ez beharrezkoa) besterik ez da jakin behar. Oinarri bitarra da prozedura honen funtsa.

egin klik irudian








Zenbaki lehenak

Zenbaki lehenak determinatzeko ezagutzen dugun metodorik zaharrena Kristo aurretiko III. mendean Eratostenes matematikariak Egiptoko Tolomeo erregeari aurkeztutakoa da. Eratostenesek taula batean lehenengo hiruzpalau mila zenbaki idatzi zituen, zenbaki konposatuak zulatuz. Erabili zuen metodoa Eratostenesen bahea izenarekin ezagutzen da.
Metodo hau praktikara eramateko ondoko prozedura aritmetiko-geometrikoa deigarria, erakargarria eta azkarra da:
Bitik hasita 6 zutabetako taula batean zenbaki arrunten segida idazten dugu. Era honetan zutabe bakoitzeko elementuak diferentzia 6 duen segida aritmetiko baten gaiak dira, n-garren gaia zutabeka ondokoa delarik,
  1. Zutabea: an1 = 2+(n-1)·6 = 6n-4
  2. Zutabea: an2 = 3+(n-1)·6 = 6n-3
  3. Zutabea: an3 = 4+(n-1)·6 = 6n-2
  4. Zutabea: an4 = 5+(n-1)·6 = 6n-1
  5. Zutabea: an5 = 6+(n-1)·6 = 6n
  6. Zutabea: an6 = 7+(n-1)·6 = 6n+1

Zera ondorioztatzen da:
  • Lehenengo zutabeko elementuak konposatuak dira (2 ezik); orduan, ezabatu.
  • Bigarren zutabekoak konposatuak dira (3 ezik); ezabatu.
  • Hirugarren eta bostgarren zutabeak ezabatzen dira, zenbaki guztiak konposatuak direlako.
  • Aurreko puntuetan 2,3 4 eta 6 zenbakien multiploak ezabatu ditugu.
  • 5,10,15,20 diagonal batean daude (ezabatu 5 ezik).
  • Aurreko lerroarekiko paralelo eta beheruntza 5ko distantziara 25,30,35,40,45,50 aurkitzen dira (ezabatu). Hurrengokoan 55,60,65,...ezabatu. Era honetan jarraituta 5ren multiplo guztiak desagertzen dira.
  • Ezabatu bariko hurrengo zenbaki lehena 7 da. Honen multiplo guztiak 7ko distantziara dauden diagonaletan eta paraleloki kokatuta aurkituko ditugu (ezabatu).
  • Berdin jokatuko dugu 11, 13 eta abarren multiploekin.
  • Ezabatu gabe gelditzen direnak zenbaki lehenak dira.

video


Zenbaki lehen baten multiploak zuzen diagonaletan daude. Galdera:
Zein da zuzen hauen malda?