2013-12-17

Aljebran trebatzen

Aljebraren hastapenak nahiko gogorrak izaten dira ikasle askorentzat. Aritmetikan urteetan trebatu ondoren, letrekin lan egitera jauzia bat-batean egiten da, eta batzuk amildegira erortzen dira. Ulertezina egiten zaizkie adierazpen aljebraikoak, ez diete zentzu handirik aurkitzen. Agian, ez daudelako ohituta zenbakiak era askotan adierazi daitezkela ikusten; hau da, bost adierazteko eskatzen badiezu, guztiek 5 idatziko dute; baina zergaitik ez 6-1 edo 100/20 edo 1+2·7-2·3-2^2 edo... Identitate aritmetikoak ulertzea ezinbestekoa da, identitate aljebraikoak ulertu ahal izateko.
Hona hemen IXL jarduera batzuk monomioen arteko eragiketak lantzeko; hau da, identitate aljebraikoak idazten trebatzeko.

  MONOMIOEN ARTEKO ERAGIKETAK

Pitagorasen Teoremaren zenbait egiaztapen geometriko


Pitagorasen teorema ospe  edo entzute handiko teorema dugu. Kale mailan teoremarik ezagunena da, bakarra ez bada. Baina, teoremaren egiaztapenak, aldiz, ez dira ez kale mailan, ez eskola mailan horren ezagunak, 360 iguruko egiaztapen egon arren. Horien artean egiaztapen geometrikoek edertasun berezia dute, aho zabalik usteko modukoak dira.
Gaur egun DBH-ko geletan egiaztapen hauek erakustea lan erraza dugu Manuel Sadak Geogebran egindako appletak erabiliz; ikusgarriak eta edoizenek ulertzeko modukoak.
Hona hemen horietako batzuk:

Ohiko egiaztapena
GeoGebra Lan-orri dinamikoa

Sorry, the GeoGebra Applet could not be started. Please make sure that Java 1.4.2 (or later) is installed and active in your browser (Click here to install Java now)

Honekin egina: GeoGebra



<Perigalen egiaztapena
GeoGebra Lan-orri dinamikoa

Sorry, the GeoGebra Applet could not be started. Please make sure that Java 1.4.2 (or later) is installed and active in your browser (Click here to install Java now)

Honekin egina: GeoGebra


Pappusen egiaztapena
GeoGebra Lan-orri dinamikoa

Sorry, the GeoGebra Applet could not be started. Please make sure that Java 1.4.2 (or later) is installed and active in your browser (Click here to install Java now)

Honekin egina: GeoGebra

2013-12-08

Geometriaz blai

 
Programa interaktiboek aukera paregabea ematen digute objektu geometrikoak bistaratzeko. Bisualizazioa matematikan, eta batez ere geometrian, ezinbestekoa da objektu matematikoen ezaugarri bereizleak eta objektu horien arteko erlazioak, hau da, azpiko  estrukturak aurkitzeko eta barneratzeko. Adibidez, Pitagorasen Teoremaren egiaztapena, Varignonen Teorema,...geometria programa interaktiboen laguntzaz errazago ulertzen ditugu. Nolabait esateko, irudi geometrikoek azaltzen dute Aljebrak egiaztatzen duena.  

JClic jarduera honetan DBH-ko bi zikloetako ia geometria guztia agertzen zaigu: Poligonoak, zirkunferentzia eta zirkuloa, angeluak, angeluak zirkunferentzian, irudi lauen perimetroak eta azalerak, eraikuntzak erregela eta konpasez, mugimenduak planoan, antzekotasuna, Thalesen Teorema, triangelu zuzenak, Altueraren eta Katetoaren Teoremak, trigonometriaren hastapena, gorputz geometrikoak,... eta baita geometria grekoaren historia ere.

 

2013-12-02

Monty Hall-en problema

1963tik 1990ra Estatu Batuetako telebistan Monty Hall-ek aurkezten zuen "Let's Make a Deal" lehiaketa programa emititu zuten. Programaren dinamika, hauxe da:

Programaren bukaera aldera lehiakideak itxita dauden hiru atetik bat aukeratu behar du, batean sari on bat dago eta beste biak hutsik daude. Ate bat aukeratutakoan, aurkezleak (honek ondo daki saria non dagoen) hutsik dagoen ate bat irekitzen du. Ondoren, aukera ematen dio lehiakideari aldatzeko, lehen aukeratu duen atea utzi eta bestea hautatu.
Zuk zer egingo zenuke? aldatu ala ez?

Problema hau "Monty Hall-en problema" izenarekin ezaguna da, eta oso historia polita du atzean:

Garai hartan oso ezaguna zen Marilyn vos Savat, Errekorren Guinness Liburuan agertzen zen munduko koefiziente intelektual handiena zuelako, 228 balioarekin. Marilyn-ek "Preguntas a Marilyn" egunkari zutabean idazten zuen. Behin, zera idatzi zuen: "¿Abantaila dago atea aldatzea erabakitzen bada?". "Bai, hobe da aldatzea". Kritikak handik eta hemendik iritsi zitzaizkion; 10.000 inguru gutun jaso zituen, horien artean irakasle eta matematikariek idatzitakoak ere: "irabazteko probabilitatea eta galtzekoa ere ate bat ireki ondoren 1/2 da", "aitortu zure akatsa, eta hurrengoan zuhurtasunez jokatu", "zenbat matematikari gehiagok idatzi behar dizute iritziz aldatzeko"...

Marilyn-ek arrazoia zeukan, eta idatzi zioten guztiek huts egin zuten. Atez aldatzen bada irabazteko probabilitatea nabarmen handitzen da (bikoiztu egiten da).
  
BNMV-tik hartutako appleta problema honen simulazioa egiteko aukera ematen digu. Oso erakargarria izan daiteke probabilitateen gaiari sarrera emateko, eta, bide batez, probabilitate problema batzuk ez direla batere intuitiboak ikusteko. DBH-ko 2. zikloan lantzen da probabilitatea, baina, 1. ziklokoan problema moduan aurkez daiteke.  Problema aurkeztu ondoren galdetuko diegu ea beraiek zer egingo luketen. Jarraian, planteatu dezakegu problema bera baina 100 aterekin: bat aukeratzen da eta hutsik dauden 98 ate ireki ondoren, aldatzeko aukera eman, ¿zer egingo zenukete kasu honetan?

Problema honi buruz: Suma aldizkaria
                                   Hiru ateen problema
 



Zoria eta intuizioa

Esperimento aleatorioei buruz ikasleek nolako intuizioak dituzten aztertzeko, ondorengo appleta erabil dezakegu.
 
Ikasle bakoitzari eskatuko diogu txanpon bat 20 aldiz jaurtitzerakoan atera daitezkeen emaitzak asmatu eta orri batean idazteko, baina esperimentua egin barik. Ondoren ariketa berdina simulazioaren bidez egin dezatela. Datu guztiak bildu eta emaitzak aztertzeari ekingo diogu.
 
Galderak: ¿Nola bereiz dezakegu sekuentzia aleatorioa eta asmatutakoa? ¿Zehazki 10 gurutze eta 10 aurpegi lortu behar ditugu ? ¿Posiblea al da 11 eta 9 lortzea? ¿Eta 18 eta 2?
 
Bi sekuentziak konparatzeko bakoitzean ikasleek lorturiko aurpegi kopurua aldagai moduan hartuko dugu. Balio maximoa, minimoa, gehien errepikatzen den balioa, barra diagramak, sektore diagramak,...kalkulatu eta irudikatu ondoren, konpareketa: ¿Zer berdintasun ikusten dira? ¿Eta desberdintasunak? ¿Gehien errepikatzen den balioa berdina al da bietan? ¿Ibilbide bera dute? ¿Emaitzak asmatzerakoan gure intuizioa zuzena izan dela uste duzu? ¿Bururatzen al zaizu grafiko mota bat bi banaketak era erraz batean konparatzeko? ...
 

 

2013-12-01

PISA: Matematika eta Problemak

Curriculumaren helburu nagusia ezagutzak transmititzea dela uste izateak konpetentzietan oinarritutako curriculuma estaltzen du. Kontzeptuak eta ezagutzak beharrezkoak badira ere, hauek ez dute bermatzen konpetentziaren garapena, partikularki konpetentzia matematikoa. Matematika, egiten ikasten da; beraz, klasean proposatzen diren jarduerak eta zereginak ondo aukeratzeak berebiziko garrantzia du. Ez daitezela bakarrik teoriaren aplikazio mekaniko hutsa izan, betiko ariketa "estuak", pentzatseko aukera handirik ematen ez dutenak eta testuingururik gabekoak.
 
PISA proiektuan proposatzen diren jarduerek, orokorrean, ez dute antza handirik klaseetan egiten direnekin; baina, nik uste dut matematika ugari dagoela jarduera horietan.
 
DBH-ko lehenengo eta bigarren zikloan lantzeko Red Educativa Digital Descartes (proiekto ASIPISA) Web orritik hartutakoak dira ondoko hauek: