2014-01-31

Txanponen banaketaren problema


Aita batek txanpon kopuru bat banatu du bere hiru seme-alaben artean, ondoko eran:
  • Lehenengoari guztiaren erdia gehi txanpon bat eman dio.
  • Bigarrenari gelditu denaren erdia gehi txanpon bat.
  • Hirugarrenari gainontzekoa; hau da, gelditu denaren erdia gehi txanpon bat.
Horrela txanpon guztiak banatu ditu.

Zenbat txanpon banatu ditu guztira? Zenbat txanpon eman dizkio bakoitzari?

Eta 4 seme-alaba balira? eta 5? eta 6?....eta n? Ea orokortzen duzun.





Problema honek ebazpen aljebraikoa onartzen du, baina badago ebazpen aritmetiko-logiko bat oso erraza eta erakargarria. Ea aurkitzen duzun. Hiru esaldietako batean dago gakoa.
Beste aukera bat da probatzea kopuru desberdinekin (kantitate txikietarako egokia izan daiteke). Metodo honek problemaren egiturari buruzko informazioa ematen du eta ezinezko diren kopuruak baztertzen ere laguntzen du.






2014-01-27

Kandelen problema


Irudian agertzen diren moduko bi kandela ditugu.

Bakoitza ordu betean guztiz erretzen da. Kandelak nahi den aldetik piztu daitezke, baina ezin dira moztu, ezta markatu ere.  Baldintza hauekin ordu bat eta bi ordu neurtzea oso erraza da, baina:

Nola neur dezakegu 30 minutu? eta 15 minutu?
 
 
 
 
 

2014-01-25

Egiazko erantzunaren problema

Ikastetxeko ikasleek teknologia berriak trebe erabiltzen dituztela erakutsiz, matematikako irakasleak sarean gordeta zeukan azterketa lortu dute. Baina, irakaslea konturatu eta informatikarako trebetasun berezia duten lau ikasle erruduntzat hartu ditu. Lau ikasleekin hitz egin du eta honela erantzun dute irakasleak egindako galderari (A, B, C eta D moduan izendatuko ditugu ikasleak):



  • A ikasleak:  "ni ez naiz izan"
  • B ikasleak:  "A ikasleak gezurra esan du" 
  • C ikasleak:  "B ikasleak gezurra esan du"
  • D ikasleak:  "B ikaslea izan da"


Ikasleek lau esaldietatik bat bakarrik egiazkoa dela aitortu dute, eta desafioa luzatu diote irakasleari:  " zeinek esan du egia?"
Lagundu zuk irakasleari eta esan zeinek esan duen egia arrazonatuz.

 

2014-01-20

Labirintoaren problema

Irudian edifizio baten planoa ikus daiteke. Eraikinak 64 gela ditu, guztiak berdinak eta karratuak. Barruko gelek 4 ate dituzte, gela batetik ondoko gelara igarotzeko, eta fatxadaren ondokoek 2 edo 3 ate. Irudian ateak zuriz margotuta daude.

 
 
Hauxe da jakin nahi duguna :
 
Sarrerako gelan gaude eta irteerara iritsi nahi dugu aske geratzeko. Gela bakoitzean mezu bat dago, denera 64. Mezu guztiak jasotzen baditugu, irteerako atea zabaltzerik izango dugu. Baina, gela bakoitzetik irtendakoan gelako ateak ixtsiko dira eta ezin izango dugu berriro sartu. Hau da, derrigorrez gela guztietan sartu behar gara eta behin bakarrik.
Badago estrategiaren bat aske geratzeko? Bestela esanda, posiblea al da edifizioan sartu eta gela guztietatik behin bakarrik pasatuz irteerara iristea? Arrazonatu.
 
 
 
Ondoren, pistatxo bat emango dizut, baina, lehendabizi saia zaitez begiratu barik ebazten.
 
 
 
Laguntza: agian xake taula baten antzera margotzen baduzu planoa, errezago ikusiko duzu problema honen "irteera".
 
 
 

 

2014-01-18

Galtzetinen problema


Goizeko bostak dira, berandu iratzarri zara eta argi barik zaude ilunpean. Presaka armairura hurbildu zara galtzetinak hartzera. Armairuko kajoian 20 galtzetin dituzu berdin berdinak kolorea ezik; 10 dira gorriak eta beste 10 beltzak.  
Zein da hartu behar duzun galtzetin kopuru minimoa bi gutxienez kolore berekoak direla ziurtatzeko?




2014-01-15

Kutxak, bolak eta probabilitatea (I)



 Probabilitatearekin zerikusirik duten hainbat problemek, sarritan, agerikoak ez diren egoerak aurkezten dituzte, intuizioaren kontrakoak diren egoerak hain zuzen ere. Horrek erakarpen berezia eransten die eta gogoz murgildu arazten gaituzte soluzioaren bila.
Jarraian hiru problema proposatzen dizkizuet, buzti gogoz!



PROBLEMA 1

Kutxa batean bola zuriak eta beltzak daude, denera lau bola. Eskua sartu eta bi bola atera ditugu, biak zuriak izateko probabilitatea 1/2 dela jakinda:
    
            Zein da bi bola beltz ateratzeko probabilitatea?




PROBLEMA 2

"Problemen Ebazpena" lehiaketan berdinduta geratu dira Ane eta Andoni. Irabazlea zein izango den erabakitzeko irakasleak ondoko problema hau proposatu die ikasleei:

"Bola zuriak eta beltzak sartuko ditut kutxa honetan. Ondoren, begiratu barik bi bola aterako ditut; bi bolak kolore berekoak badira Ane izango da txapelduna eta kolore desberdinetakoak badira Andoni.

Biok irabazteko probabilitate berdina izateko, kolore bakoitzeko zenbat bola sartu behar ditut? (eman emaitzarik errazena, bola gutxien behar duena). Arrazonatu.

Asmatzen duena irabazlea izango da. Biok asmatzen baduzue, esandako eran bolak aterako ditut erabakitzeko"




PROBLEMA 3

5 bola zuri, 5 beltz eta bi kutxa daude. Bola guztiak bi kutxetan banatu eta gero (bietan dago bolaren bat), zoriz kutxa bat aukeratu da eta bertatik bola bat atera. Ateratako bola zuria izateko probabilitatea maximoa izan dadin:
     
     Nola egin behar da bolen banaketa?
     Ba al dago banaketaren bat non aipatutako probabilitatea
     1/2 baino handiagoa den? 




SOLUZIOA

2014-01-12

Egiazko ala faltsua? Esaldien problema


Ondoren, Adrian Paenzak dionez, pentsatzera gonbidatzen zaituztet. Apur bat buruari eragitea besterik ez baita behar, ez kalkulurik ez ezagupen matematikorik, datozen lerroetan proposatzen dizuedan logikazko problemari erantzuteko.

Hamar esaldi idatziko dizkizuet, eta zuek erabaki behar duzue zeintzuk diren egiazkoak eta zeintzuk faltsuak; arrazoiak emanez, jakina!

Hona hemen esaldiok:
  1. Zerrenda honetan esaldi bakarra da  faltsua.
  2. Zerrenda honetan bi esaldi bakarrik dira  faltsuak.
  3. Zerrenda honetan hiru esaldi bakarrik dira  faltsuak.
  4. Zerrenda honetan lau esaldi bakarrik dira  faltsuak.
  5. Zerrenda honetan bost esaldi bakarrik dira faltsuak.
  6. Zerrenda honetan sei esaldi bakarrik dira  faltsuak.
  7. Zerrenda honetan zazpi esaldi bakarrik dira  faltsuak.
  8. Zerrenda honetan zortzi esaldi bakarrik dira  faltsuak.
  9. Zerrenda honetan bederatzi esaldi bakarrik dira  faltsuak.
  10. Zerrenda honetan hamar esaldi bakarrik dira  faltsuak.
Garbi geratu bazaizue, ekin!
Saia zaitezte erantzuna  aurkitzen hemen behean dagoen azalpenari begiratu gabe.



    2014-01-10

    Xake-taularen problema


    Xake-taula 64 karratuz osatuta dago, 32 zuri eta 32 beltz, irudian ikusten den moduan:

     
    
    Domino jokoko 32 fitxa dituzu eta fitxa bakoitzarekin taulako 2 karratutxo estal dezakezu gainean kokatuz horizontalki edo bertikalki. 
     
     
     32 fitxak erabiliz xake-taula guztia estal daiteke hutsunerik utzi gabe?
    Erantzun erraza, ezta?, nahikoa duzu, adibidez, errenkada bakoitzeko 4 pieza horizontalki ipintzea.
     
    Jarraian, taulako diagonal bateko muturretako bi karratuak moztuko ditugu. Orain, 62 laukitxo ditugu estaltzeko; beraz, fitxa bat soberan dago. Ondorengoa nahi dugu jakin:
     
    Fitxak horizontalki edota bertikalki ipiniz, posiblea al da 31 fitxa erabiliz taulan geratzen diren 62 karratuak estaltzea? Nola? Azaldu.
     
     
     
     

    2014-01-08

    Tenisean irabaztea eta probabilitatea


     Hona hemen tenisarekin zerikusia duen probabilitate problema bat

    DBH-ko 4. mailako ikasleek kurtso amaierako ikas-bidaia antolatu dute, baina bi helduren laguntza behar dute ikas-bidaira joan ahal izateko. Matematikako Elena eta Rakel irakasleak gonbidatu dituzte arduradun moduan joateko; baina hauek, probabilitatearen gaiarekin dihardutela aprobetxatuz eta ikasleak motibatzeko asmoz,  ondoko  proposamen-problema erakargarria proposatu diete:
    "Dakizuen moduan Elenak eta biok tenisa oso gustoko daukagu. Jokatu ere ahal dugunean egiten dugu, baina Rakel ni baino trebeagoa da, hobeto jokatzen du. Aukeratu behar duzue zeuen artean gelako txapelduna, onena noski!, gure kontra hiru partida jokatzeko; baina partida bakoitzean aurkariaz aldatu behar du (Elena-Rakel-Elena edo Rakel-Elena-Rakel). Bi partida jarraian irabazten baditu ikas-bidaiara joango gara...

     Beno, errazagoa ipiniko dizuegu. Arrazoi probabilistikoak emanez, ondorengo galderari ondo erantzuten badiozue, joango gara:
    Zein aukeratu behar duzue lehenengo partidarako Elena ala Rakel, bi partida jarrain irabazteko probabilitatea handiagoa izan dadin? Zergatik?"
    

    2014-01-07

    Simpson-en paradoja: portzentaje globalekin, kontuz!


    Kontu handiz ibili behar da portzentaje globalak ematen direnean, batez ere portzentaje hauek zati desberdinetan zatitzen diren taldeenak direnean. Halakoetan, okerreko ondorioetara irits gaitezke, eta ondorio bat atera, benetan kontrakoa gertatzen ari denean. Fenomeno hau "Simpson-en paradoja" moduan ezagutzen da.
     
    Ikus dezagun adibide bat:
     
    Enpresa handi batek 250 lanpostu eskaini ditu hiru departamentuetarako (Salmentak: 30; Muntaia: 200 eta Biltegia: 20). Denera 355 gizon eta eta 325 emakume aukeztu dira, eta hauetatik 190 gizon (%53,5) eta 60 emakume (%18,5) onartuak izan dira. Sail bakoitzean aurkezturiko gizon eta emakumeen prestakuntza maila antzerakoa izan da.
     
    ¿Baieztatu daiteke emakumeak diskriminatuak izan direla?
     
    Gezurra dirudien arren, erantzuna ezezkoa da.
     
    Azter dezagun egoera hau behar den moduan datu guztiak kontuan izanik:
     


    Taulako datuen arabera, sail guztietan onartutako emakumeen kopurua ehuneko hainbestean handiagoa izan da gizonena baino. Eskainitako lanpostu gehienak muntaiarako izan dira (200), plaza guztien %80a, hain zuzen. Lanpostu hauetarako 250 gizonezko aurkeztu dira (gizon guztien %70,42) eta emakumezko gutxi (25 bakarrik, emakume guztien %7,69); hortxen dago gakoa, honek okerreko interpretaziora eramaten gaitu.
     
     
    Iturria: "La certeza absoluta y otras ficciones. Los secretos de la estadística" (Pere Grima). El mundo es matemático.

    2014-01-05

    Teniseko txapelketaren problema

    Ondoren problema polit bat uzten dizuet. Egin hazka buruari eta ekin:

     
    "Tenis-lehiaketa bat antolatu dugu ikastetxean. 128 ikaskidek hartuko dute parte eta kanporaketa sinplea erabiliko dugu; hau da, partida bat galtzen duena kanporatua izango da. Bukaeran irabazle bakar bat egongo da, ikastetxeko txapelduna izango dena.
    Txapelketa ikasturtean zehar egingo da, eta behar den moduan antolatzeko zera nahi dugu jakin:

    Zenbat partida jokatuko dira denera?
    22 aste ditugu eta azkeneko astean finala jokatuko dela jakinda:
    Aste bakoitzean zenbat partida jokatu behar dira?"
     
     
     
    Oharra:
    Laguntza moduan, kontuan izan logikazko problema bat dela; beraz ia kalkulurik egin gabe ebatz daiteke. Kasu errezagoak ere azter ditzakezue aurretik.
     
     
     

    2014-01-03

    Matematika eta magia uztartuz: Matemagia

    Matematika guk, irakasleok, nahi baino gehiagotan ulertezin ezezik, aspergarri ere egiten zaie ikasleei. Matematikak isladatzen duen xarmaz gozatzeko heldutasun maila bat behar dela esaten da; eta hala da, hainbat teorema eta egiaztapen ulertu ahal izateko behintzat. Baina ez dut uste hori denik derrigorrezko hezkuntzan irakasten den matematikaren helburuetako bat; bai ordea, matematika balioestea, eta helburu hori erdiesteko matematikari mamu mozorroa kendu behar diogu lehenbaitlehen. Matematika jolasa moduan aurkeztea izan daiteke aurrepauso bat,  jolas horien atzean ustez baino matematika gehiago baitago.
    Ondorengo webgunean matemagiako jolasak, paradojak,  bitxikeriak, etabar aurki ditzakegu. Batzuk aljebra lantzeko oso egokiak:
     
     

    2014-01-01

    Paradoja de Sam Loyd (I)

    Hemen duzue oso ezaguna den paradoja geometriko bat, "Paradoja de Sam Loyd" deiturikoa. Beheko animazioarekin jolastu eta ea asmatzen duzuen nola agertzen den bigarren irudian karratutxo misteriotsua.
    Eskuman agertzen diren geziekin karratutxo kopurua alda dezakezue. Animate botoian sakatuz piezak berez mugitu egingo dira  eskumako irudia betzeko (nahiago baduzu, posiblea da arratoiarekin banan banan mugitzea). 




    Joku hau eta beste batzuk Grupo Alquerque de Sevilla taldearen eskutik ondoko webgunean aurki ditzakezue: http://www.magiaymatematicas.com/