2014-02-26

"Truelua"ren problema


Hiru persona A, B eta C ,pistola bana eskuan dutela, triangelu aldekide baten erpinetan daude, tiro egin eta besteak akabatzeko asmoz. Duelu moduko bat egin behar dute, baina hiruren artean, "truelu" esango diogu.



A-k asmatzen du %33, B-k %66 eta C-k %100 (ez du inoiz kalerik egiten). Txandaka egingo dute tiro eta txada bakoitzean tiro bakar bat. A hasiko da, ondoren B eta azkenik C; horrela truelua bukatu arte.
Zein da A-rentzako estrategiarik onena? Nola komeni zaio jokatzea? 







2014-02-17

Fibonacciren segida, zenbaki pitagorikoen sortzaile


Pitagorasen Teorema matematikaren historiako teoremarik famatuena, ezagunena, erabilena eta egiaztapen gehien onartu duena dugu zalantza barik. Gogora dezagun zer dioen:

"Triangelu zuzen guztietan, alde luzeenaren (hipotenusaren) luzeraren berbidura beste bi aldeen (katetoen) luzeren berbiduren batura da"

edo ikuspuntu geometrikotik:

"Triangelu zuzen guztietan katetoen gainean eraikitako karratuen azaleren batura eta hipotenusaren gainean marraztutako karratuaren azalera berdinak dira"

 

Teorema hau bi aldetara egiaztatzen da, hau da, aipatutako propietatea egiaztatzen duen triangelua zuzena da.

Pitagorasen teorema egiaztatzen duten zenbakiei terna pitagorikoak deritze. Holako terna kopurua, dakigunez, infinitua da, eta grekoen garaitik ezagunak dira zenbaki hirukote hauek eskuratzeko formulak.

Baina gaurkoan Pitagorasen Teorema Fibonacciren segidaren zenbakien artean bilatu eta aurkitu egingo dugu. Ez da berehalakoan agertuko, segidako gaiak era egokian aukeratu ondoren, zenbait eragiketa egin beharra dago aurrez-aurre teorema famatua ager dadin.

Hona hemen eman beharreko pausoak:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, ...

  • Segidako ondoz ondoko edozein 4 gai aukeratu (adibidez: 3, 5, 8, 13)
  • Bidertu muturretakoak:  (3·13 = 39)
  • Kalkulatu erdiko bien biderkaduraren bikoitza:  (2·5·8 = 80)
  • Erdiko bien karratuen batura egin:  (52 + 82 = 89)

Erraz konproba dezakegu (39, 80, 89) terna pitagorikoa dela:

392 + 802 = 892

1, 1, 2, 3 aukeratzen baditugu, (3, 4, 5) "triangelu egipziarra" dugu eta 1, 2, 3, 5 gaiekin (5, 12, 13) "triangelu indiarra".
Saia zaitez beste batzuk aurkitzen.

Beraz, Fibonacciren segidak metodo erraz bat eskeintzen digu Pitagorasen teorema egiaztatzen duten zenbaki hirukoteak lortzeko.

Baina, propietate hau Fibonacciren segidarena da soilik ala orokorragoa da?

Propietate hau orokorragoa da, lehenengo bi gaiak definituz, ondorengoak aurreko biren batura eginez eratzen diren segida errepikari guztiek egiaztatzen dute:

..., q, n, m, p, ...

non,
p=m+n eta q=m-n

a, b eta c aukeratuz,

a=pq=(m+n)(m-n)=m2-n2

 b=2nm

 c=n2+m2

 
Orduan,


a2+b2=
=(m2-n2)2+(2nm)2=
=(m2)2+(n2)2-2m2n2+4m2n2=
=(m2)2+(n2)2+2m2n2=
=(n2+m2)2=
= c2
 
 


Euklidesen "Elementuak" liburu bilduman (13 liburuz osatua), X. liburuan hain zuzen ere, terna pitagorikoak eratzeko formulak agertzen zaizkigu, Fibonacciren eta, orokorrean, Fibonacciren segidaren moduko segida errepikarien barnean dauden berberak. Formula hauek osoak diren soluzio guztiak  ematen dizkigute (osoak ez diren soluzioak ere sor daitezke):

 

 

 

2014-02-03

Fibonacci-ren segidaren gordelekua, Pascal-en triangelua.

Leonardo Pisano (Fibonacci) Pisan jaio zen 1170. urtean. Bere aita merkataria zen, hori dela eta, kontabilitatetik hurbildu zen Fibonacci matematikaren mundura. Afrikako iparraldera egindako bidaietan egun erabiltzen dugun zenbakikuntza sistema indo-arabiarra maisu musulmanengandik jaso zuen. Ondoren, Europara ekarri  eta, apurka-apurka, orduko erromatar zenbakikuntza sistema gaindituz, hedatu zen gure artean.
Baina Leonardo bada ezaguna ere bere izena edo ezizena daraman segida bategatik, "Fibonacciren segida":
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233,... 
Ikusten denez lehenengo bi gaiak definitzen dira a1=1 eta a2=1, eta ondorengoak aurreko biak batuz sortzen dira.

Segida honen jatorria untxien problema batekin lotuta dago:
"Untxi bikote bat ugaltzen da bikote bat sortuz hilabetero. Bikote jaioberri bakoitzak bi hilabetera ugaltzen hasten da esandako eran. Zenbat bikote izango ditugu urte bukaeran hasieran bikote jaioberri bat baldin badago?"
Blaise Pascal (1623-1662) matematikari frantsesak ezagutzaren arlo desberdinak landu zituen: matematika, fisika, filosofia, teologia,... Matematikaren munduan Fermatekin batera probabilitatearen esparruan egindako ekarpenengatik eta bere izena daraman triangeluagatik oso ezaguna da. Pascalek triangelu aritmetikoa sakon aztertu zuen eta (a+b) binomioaren potentzia desberdinen koefizienteak kakulatzeko erabili zuen.

Triangelua ondoko eran eratzen da:
  • 1. errenkadan        1
  • 2. errenkadan      1  1
  • 3. errenkadan    1  2  1 
  • 4. errenkadan  1  3  3  1
  • ......................
Hau da, errenkadaz errenkada zenbaki bat eransten da, goiko bien batura dena. Triangeluaren eskuin-ezker aldeetan 1koak kokatzen dira.
Pascalen triangeluaren barruan propietate eta ezaugarri pila bat ezkutatzen dira; horien artean bat ustekabekoa: Fibonacciren segida. 
Ikusi beheko irudi hau, ez al da harrigarria?