2014-05-30

Laukizuzenak konparatzen

 
Nola konpara dezakegu aldeak neurtu barik bi laukizuzenen azalerak?


 
Neurriak hartzeko erregelarik erabili gabe, nola egiazta dezakegu irudiko laukizuzenen azalerak berdinak edo bata bestea baino handiagoa den? 

Laukizuzenak nahi duzun moduan manipulatu: ikutu, mugitu, biratu,...Neurririk ez duen erregela eta arkatza erabili dezakezu, baina ezin duzu neurtu, ezta erregela markatu ere.   

Laguntza moduan, hona hemen Mikel Retegik geogebran egindako appleta (mugitu P puntu gorria):
 


http://www.geogebratube.org/material/show/id/122611

Geogebraren laguntzaz erraz ikus dezakegu problema honen soluzioa. Bisualizazioak argitu egiten digu bidea eta problemaren azalpenaren ateak zabaltzen dizkigu.

Saia zaitez orain azalpena edo egiaztapen geometrikoa ematen, ondoren datorrena irakurri baino lehen.



AZALPENA

Bi laukizuzenak erpin batetik lotzen ditugu:

 

Ondoren, biak bere barnean hartzen dituen beste laukizuzen bat marrazten dugu eta baita honen diagonala ere, irudian ikusten den moduan.
Demagun P erpin komuna diagonalaren gainean dagoela,

 
Diagonalaz bi aldeetako poligonoen azalerak konparatuz, 
 
 
Azalera 1 = Azalera 1'
Azalera 2 = Azalera 2'
Azalera 123 = Azalera 1'2'3'
 
(Triangeluak kongruenteak dira: 1~1' ; 2~2' ; 123~1'2'3')

Ondorioz,
 
Azalera 3 = Azalera 3'

Beraz, P erpin komuna diagonalaren gainean dagoenean bi laukizuzenen azalerak berdinak dira.

Zer gertatuko da P erpina diagonalaren gainetik dagoenean?

 

P puntua diagonalaren gainean proiektatzen badugu, laukizuzen berdearen azalera handitu eta urdinarena txikitu egiten da, bi azalerak berdintzen diren arte (aurreko kasua),



Ondorioz,

P erpina diagonalaren gainetik gelditzen denean, goiko laukizuzenaren azalera txikiagoa. Era berean, P puntua azpitik; orduan, beheko laukizuzenaren azalera txikiagoa.



Oharra: Tito Eliatron Dixit blogean irakurri dut problema hau, baina,  Jose Antoniok aipatzen duen moduan, Adrian Paenzaren "Matemagia" liburua da problema honen iturburua (Adrian Paenzaren liburuak PDFan). 

2014-05-24

Kutxak, bolak eta Simpson-en paradoja

 
Simpsonen paradojaren adibide bitxia ikusiko dugu gaurkoan.



Irudian hiru egoera agertzen zaizkigu, eta egoera bakoitzean gure helburua bola gorria ateratzeko probabilitatea optimizatzea da. Nola jokatu behar dugu bola gorria ateratzeko probabilitate ahalik eta handiena izateko?  Kutxa urdina aukeratu behar dugu hiru kasuotan?

Azter dezagun banan-banan:

1.EGOERA


Lehenengo egoeran A kutxan (urdina) 7 bola ditugu eta horietatik 3 gorriak dira; beraz, bola gorri bat ateratzeko probabilitatea 3/7=15/35. Bestetik,  B kutxan (berdea) 5 boletatik 2 gorriak direnez, gorria ateratzeko probabilitatea 2/5=14/35 izango da. Beraz,  kutxa urdina komeni zaigu aukeratzea, gorria ateratzeko probabilitatea handiagoa baita.

2.EGOERA:
 
  
Era berean, bigarren kasu honetan ere  kutxa urdina (A') aukeratzen bada  bola gorria lortzeko probabilitatea handiagoa da 4/6=2/3=22/33. B' kutxan (berdea), ordea, 7/11=21/33.

3.EGOERA:
 

Hirugarren egoeran, kutxak nahastu ditugu: A + A' (13 bola denera = 7 gorri + 6 zuri) eta B + B' (16 bola denera = 9 gorri + 7zuri) . Baina, uste izaten denaren aurka, oraingo honetan aldatzea komeni da, B + B' kutxa (berdea) aukeratzen badugu gorria lortzeko probabilitatea hobetzen baita ( 7/13 txikiagoa da 9/16 baino).

Geogebrako applet honetan, kutxa bakoitzaren osaera aukeratu ondoren,  grafikoki azter ditzakegu  probabilitateak eta zein kasuetan ematen den Simpsonen paradoja zehaztu. X ardatzean bola kopurua guztira eta Y ardatzean gorrien kopurua adierazita daudenez, zuzen bakoitzaren maldak kutxa bakoitzetik (A, A', B eta B') eta kutxen elkarketatik (A+A' eta B+B') bola gorria ateratzeko probabilitatea ematen digu. Zuzenkiak planoko bektoreak balira moduan ere har ditzakegu, non malda=Vy/Vx= P(gorria) den.

Klikatu irudiaren gainean:

http://www.geogebratube.org/student/m120407



Gertaera paradogiko hau Colin R. Blyth-ek aurkitu zuen 1951. urtean E. H. Simpsonen artikulu bat irakurtzean, eta "Simpsonen paradoja" moduan izendatu zuen.

Paradoja honen beste adibide batzuk:



 

2014-05-17

Herria eta eskola uztartuz, Hezkuntza Plazara! (Soraluze BHI)


Maiatzaren 9an "Hezkuntza Plazara!" eguna ospatu genuen Soraluzen. Egun horretan,herria eta eskola uztartuz, hezkuntza arloan lanean dihardugun  hainbat erakunde plazara atera ginen. Ekintza desberdinak antolatu ziren: hankapalo, larrugintza eta graffitti tailerrak, altxorraren bila, bost baietz, irratia, problemen ebazpena,...   

Soraluze BHI ikastetxeko Matematika Mintegian "Logika Matematikoan Trebatzen" izenburupean logikazko problema sorta prestatu genuen. Herriko zenbait taberna eta dendatan bi problema laga genituen, arkatza eta papera erabili gabe ebazteko modukoak, herritarrek joku moduan parte hartu, ebatzi eta lagun arteko eztabaidak pizteko asmoarekin; tabernak eta dendak ikasgela bihurtuz.

Partehartze handia izan zen, ia 200 problemen erantzuna jaso genituen, eta, garrantzitsuena dena, ilusioa, gogoa eta motibazioa zabaldu zen partehartzaileen artean.

Aurkezpen honetan proposatutako problemak eta bakoitzaren azalpena:








Argazkiak







Bideoa