2014-07-15

Thalesen Teoremaren egiaztapen bat

Thales Miletokoa Antzinako Greziako filosofo eta matematikari ospetsua dugu, Greziako zazpi jakintsuetako bat da,  baina, paradogikoki, ezer gutxi dakigu bere bizitzari eta lanei buruz. K. A. 585. urteko eklipsea gertatu zenean Thalesek 40 bat urte zituela pentsatzen da; data hau erreferentzia moduan hartuta bere jaiotze- eta heriotza-datak kalkulatu dira.
Egiaztapenetan oinarritutako matematikari edo matematika deduktiboari hasiera eman zion lehena izan zen Thales. Bere ustez, baieztapen geometrikoak ezin ziren intuizio hutsez onartu , prozesu zehatz eta logiko baten ondorioz baizik. Thalesen egiaztapenak gure eskuetara iritsi ez badira ere, esandakoaren lekuko ondorengo teoremak ditugu (Thalesen teoremak):

  • Zirkunferentzierdi batean inskribaturiko angelua zuzena da.
  • Diametroak bi zati bertinetan banatzen du zirkulua.
  • Triangelu isoszele baten oinarriko angeluak berdinak dira (oinarria desberdina den aldea izanik).
  • Erpinez aurkako angeluak berdinak dira.
  • Triangelu batean alde batekiko paraleloa den edozein zuzen marrazten bada, antzekoak diren bi triangelu lortzen dira.   

Teorema hauek ikasleen artean nahiko ezagunak badira ere, ez da horren ezaguna egilea edo egiletzat Thales hartzen dugula.
Azkeneko teoremaren aldaera bat edo ondorio bat da, gaur hemen enuntziatu eta egiaztatuko duguna. 


Thalesen Teorema
"Planoko edozein bi zuzen (r eta s) beren artean paraleloak diren zuzenen bidez ebakitzerakoan,  r eta s zuzenetan agertzen diren segmentu korrespondenteen luzerak proportzionalak dira".
Hau da:








Egiaztapena
Thalesen Teoremaren egiaztapena azaleraren kontzeptuan oinarrituko dugu; beraz, kontzeptu hau axiomatikoki definitutzat emango dugu.

Egiaztapenarekin hasi baino lehen beharrezkoak izango diren ondorengo bi emaitzak gogoratu behar ditugu,

1.- Oinarri eta altuera bereko triangeluek azalera berbera dute:



2.- Triangelu baten oina eta honen aurkako erpina lotzen dituen segmetuak hasierako triangelua bi triangelutan zatitzen du. Triangelu berrien azaleren arteko erlazioa eta oinen artekoa berdinak dira:


ADB triangeluaren azalera = S'' = b2·h/2

DCB triangeluaren azalera = S' = b1·h/2


Bi adierazpenetan h/2 isolatuz eta berdinduz,


S'' / bS' / b1 
Beraz,
S'' / S' b/ b1


Azkenik, hona hemen egiaztapenaren appleta:









(Mikel Retegiren laguntzarekin egindako appletak. Mila esker)