2015-11-21

Zenbakiak eta geometria


Kontatzeko erabiltzen ditugun zenbakiek nolabaiteko magia ezkutua izaten dute beren baitan, banan-banan aztertzen direnean antzematen ez dena. Gizakien modura, beraien artean erlazionatu behar izaten dira magiaren disdira  ikusgarria antzemateko.

Ezusteko deigarri ugari eskaintzen dizkigute elkarrekin aurkezten zaizkigunean. 

Ondoren datorrena, horren adibide:






Eta oraingoan, karratura berretuta dauden zenbakien arteko diferentzia 2 denean:


 
 Eta diferentzia 3 denean:



 Orokorrean, diferentzia "d" bada:




Eta bukatzeko, lehenengoarekin lotura estua duen beste hau:






Aljebraren logikak berehalako batean egiaztatzen dizkigu erlazio hauek. Baina, holako argumento logiko-aljebraikoarekin benetan ulertzen dugu zenbakizko erlazio hauek gordetzen duten magia? 

Planteamendu geometrikoek hobeto azaltzen dituzte egoera hauek, agerian uzten baitute zergatia, barneko mamia. 

Bi argumentuak, aljebraikoa eta geometrikoa, analogoak badira ere; bigarrenak, lehenengoa azaltzen du.


Bideo honetan zenbakiak eta geometria lotzen dira goian ikusitako lehenengo eta azkeneko erlazioak azaltzeko:







*****

2015-10-25

Hexagonotik hexagonora



"Hexagonotik hexagonora" bi pertsonendako jokoa da. Irudiko taula hexagonala, fitxa bat eta jolasteko gogoa besterik ez da behar,





Hasieran, sarrerako hexagonoan fitxa bat kokatzen da.Txandaka jokalariek fitxa hau eskumaruntz aurreratuko dute ondoko hexagono batera, horizontalean edo diagonalean. Hexagonoak margotu ditugu argiago ikusteko eta fletxak baimendutako mugimenduak adierazteko:





Irteerara lehenengo iristen dena irabazlea izango da.

Ba al dago irabazteko estrategiarik? Zeinek dauka abantaila, lehenengo ala bigarren jokalariak? Nola jokatu behar du beti irabazteko?

Antzematen al duzu antzekotasukik "Hogeiak irabazten du" jokoarekin?





Azalpena

Jokoarekin apur bat praktikatzen bada, berehala konturatuko gara lehenengo jokalariak abantaila duela eta zeintzu diren posizio irabazleak. Berdez margotutako hexagonoek garaipena ekarriko diote lehenengo jokalariari.
  • A jokalariak erdiko hexagono berdean.
  • B jokalariak grisez dagoen hexagono batean (erdikoa, goikoa ala behekoa).
  • A-k berdez dagoen goiko ala behekoan (aurreko pausoan B-k egindako mugimenduaren arabera).
  • B-k erdiko horian, goiko grisean ala behekoan.
  • A-k erdian.
  • .............
  • Horrela, azkeneko mugimenduan, A-k irabazten du.




Begibistakoa ez bada ere, funtsean joko hau eta "Hogeiak irabazten du" baliokideak dira. Baliokidetasunaz jabetzeko, hexagonoak zenbakituko ditugu irudian ikusten den eran.
Zenbakien esanahia, hauxe da: 
  • Sarreran 20 fitxa.
  • A jokalariak 2 fitxa hartu eta soberan dauden 18ak lerro bereko ondoko hexagonoan uztiko ditu.
  • B-k 1 edo 2 fitxa har ditzake. 2 hartzen baditu, beste 16ak lerro bereko ondoko hexagonoan utziko ditu. 1 hartuz gero, beste 17ak goian ala behean.
  • A-k fitxa bat hartuko du aurreko jokaldian B-k 2 hartu baditu eta alderantziz. Soberan dauden 15 fitxak goi edo beheko hexagonoan utziko ditu.
  • ................

Laburtuz, 3 lerro daude, lerro berean jarraitzen bada 2 fitxa hartu eta lerroz aldatzen bada fitxa 1.








Klikatu HEMEN  (tableroak PDF-an).



*****





2015-10-23

Hogeiak irabazten du


Ea hurrengo jokoaren estrategia irabazlea aurkitzen duzun:

 
Kolore bereko 20 fitxa mahai gainean eta bi jokalari.
Txandaka jokalari bakoitzak 1 edo 2 fitxa hartuko ditu.
Azkeneko fitxa hartzen duena irabazlea izango da.




Zeinek du abantaila, lehenengo jokalariak ala bigarrenak?
Badago irabazteko estrategiarik? 
Eta fitxa kopurua aldatzen bada? 
Eta azkeneko fitxa hartzen duenak galtzen badu?


Jokoa orokortuz

Demagun "m" fitxa daudela mahai gainean eta har dezakegun fitxa kopurua 1tik "n"-ra (n < m) edozein kantitate.

Lehenengo ala bigarren jokalariak, zeinek dauka estrategia irabazlea? Zein estrategia?

Eta azkeneko fitxa hartzen duenak galtzen badu, zeinek izango du orain estrategia irabazlea?




*****

2015-10-22

Estrategiazko jokoak


Jarraian datozen jokoetan ea aurkitzen dugun estrategia irabazlea.



ALFILAK

Bi jokalari daude, bat lehenengo jokalaria izango da (hasten dena) eta bestea bigarrena. Xake-taulan alfilak ipintzen joango dira txandaka, lehenengo jokalariak alfil bat ipiniko du, ondoren bigarrenak beste bat eta horrela jarraian. Bete beharreko baldintza: alfil batek ezin izango du beste bat jan edo harrapatu. Bere txandan alfila ezin duena ipini galtzailea izango da.



Zer nahiago zenuke, lehenengo ala bigarren jokalaria izatea? Nola jokatu behar duzu irabazteko? 





HARRI-PILOAK

Bi harri-pilo ditugu, batak 20 harri ditu eta besteak 30. Bi lagun hasiko dira txandaka harriak hartzen, jokaldi bakoitzean nahi beste harri eta nahi duten harri multzotik, baina harriak pilo bakar batetik hartuta. Azkeneko harria hartzen duena irabazi egingo du.

Ba al dago irabazteko estrategiarik? Lehenengo ala bigarren jokalariarentzat?


 PUNTUAK LOTUZ

Zirkunferentzia baten gainean 20 puntu kokatu ditugu. Bi lagunek bi puntu lotzen dituen segmentu bat marraztuko dute txandaka, baina aurretik marraztutako segmentuak ebaki barik. Jokalari batek bere txandan ezin badu zuzenkirik marraztu galdu egingo du.

Zein da eta zeinek dauka estrategia irabazlea?







*****

Seudojokoak


Joko baten irabazlea, erabilitako estrategiaren menpe ez badago; hau da, irabazlea beti lehenengo jokalaria edo beti bigarrena bada, partidaren garapena edo nola jokatu den kontuan hartu barik erabakitzen bada, jokoari seudojokoa deritzogu.

Hona hemen adibide batzuk:


Txokolate tableta

Bi lagunek luzeraz 7 eta zabaleraz 4  onza dituen txokolate tableta bat zatitzen ari dira txandaka onzak bereizten dituzten marretatik apurtuz, azkeneko zatitxoa askatu arte. Bere txandan zatiketarik egin ezin duena galtzailea izango da.
Zeinek irabaziko du? Lehenengo jokalariak ala bigarrenak?

 





Harri piloak

Hiru harri pilo ditugu: batak 10 harri ditu, bigarrenak 15 eta hirugarrenak 20. Txandaka bi lagunek harri piloak bitan joango dira zatitzen. Hau da, lehenengo lagunak nahi duen piloa aukeratu eta bitan banatuko du (adibidez, 15 harrikoa, 4 eta 11ko multzoetan); ondoren, bigarrenak jokatuko du, lau multzoetatik bat aukeratu eta zatitu. Bukaeran, zati gehiago egin ezin duenak galduko du.

Zeinek irabaziko du? lehenengo jokalariak ala bigarrenak?






Dorreak xake-taulan

Txandaka, bi jokalarik dorreak ipiniko dituzte xake-taulan, baldintza honekin: dorre batek ezin izango du beste bat jan edo harrapatu. Bere txandan dorrerik ezin duena ipini galtzailea izango da.

Zein jokalarik irabaziko du?







*****

2015-10-17

Paradoxak problemetan




BARRAZKILOA

10 metroko sakonera duen putzu baten hondoan barrazkilo bat dago. Bertatik irtetzeko, egunez 2 metro gora egiten ditu eta gauez, lo dagoela, irristatu egiten da metro bat behera.

Zenbat egun beharko ditu putzutik irtetzeko?






BABARRUNAK

Babarrunez betetako bi saku erosi ditugu, gorria eta zuria. Saku gorrian 2000 babarrun gorri daude eta saku zurian 2000 babarrun zuri. Saku gorritik 100 babarrun gorri atera eta saku zurian sartu ditugu. Nahastu eta gero,  saku honetatik, zuritik,  100 babarrun atera eta saku gorrian sartu ditugu.
Zein da handiagoa, saku gorrian dagoen babarrun zurien kopua ala saku zurian dagoen gorrien kopurua?




GALDUTAKO EUROA

Hiru lagunek afaldu ondoren kontua eskatu zuten. Bakoitzak 10 € ipini zituen, denera 30€, 25€-ko afaria ordaintzeko. Jatetxeko zerbitzariak 5€ txanponetan itzuli zizkien. Banaketa egitea zail samarra zenez, honela konpodu zuten arazoa: lagun bakoitzak  euro bat hartu eta 2€-ko propina zerbitzariari eman zioten.
Honela, bakoitzak 9€ ordaindu zituen (3 bider 9 = 27€); 27€ gehi 2€-ko propina 29€ denera. Baina, 30€ ipini zituzten.

Non dago galdutako euroa?








*****

Paradoxa Geometrikoak



 PARADOXA 1

ABC triangeluan aldeen erdiko puntuak  M, N eta P kokatu eta gero, MP eta NP zuzenkiak marraztu ditugu. MPNC laukia paralelogramo bat da; beraz, zera egiaztatzen da:

AN + NP + PM + MB = AC + CB


Ondoren, APN eta PBM triangeluekin hasierako ABC triangelua zatitu dugun moduan zatituko dugu. Prozesu bera etengabe errepikatuko dugu. Etapa bakoitzean marraztutako segmentuen luzeren batura = AC + CB.
Sortzen diren segmentu berrien luzerak gero eta txikiagoak dira eta erpinak  AB aldera hurbilduz doaz. Limitean, segmentu hauen perimetroak AB aldearekin bat egitera jotzen du. Beraz:

AC + CB = AB ??????

Posiblea al da? Zer gertatu da? Nola azaldu daiteke egoera paradoxiko hau?



 PARADOXA 2

Irudiko triangelu zuzena karratu baten erdia da, hau da, triangeluaren hipotenusa karratuaren diagonala da.
Ikusi irudiak erakusten duen prozesua, eta erantzun galderei:




Beltzez agertzen den eskailerako segmentuen batura = bi katetoen aldeen luzera.

Karratuaren diagonala aldearen bikoitza al da? Nola?




 PARADOXA3

Eta oraingo kasuan,


zirkunferentziaerdiaren luzerak diametroren luzera bera al du?


Ikusten al duzu erlaziorik hiru paradoxa hauen artean? Nola azaldu daitezke?


*****




2015-10-16

Txanponak, bolak eta probabilitatea


Orain probabilitateko problemak. Ez dira batere intuitiboak:


 PROBLEMA 1

Hiru txanpon ditugu, bata bi aldeetatik zuriz margotuta, beste bat bietatik gorriz eta azkena alde batetik zuriz eta bestetik gorriz. Poltsa batean sartu eta begiratu barik zoriz bat aukeratzen dugu. Ondoren mahi gainean jartzen dugu bere aurpegietako bat bistan dagoela eta bestea ezkutuan. Demagun ikusten den aldea zuria dela. Apostua egin behar duzu ikusten ez den aldea zuria ala gorria dela. 

Zer da probableagoa ezkutuan dagoen aurpegia zuria ala gorria izatea? Zergatik?





PROBLEMA 2
 
Kutxa batean bola zuriak eta beltzak daude, denera lau bola. Eskua sartu eta bi bola atera ditugu, biak zuriak izateko probabilitatea 1/2 dela jakinda:

Zein da bi bola beltz ateratzeko probabilitatea?




PROBLEMA 3


5 bola zuri, 5 beltz eta bi kutxa daude. Bola guztiak bi kutxetan banatu eta gero (bietan dago bolaren bat), zoriz kutxa bat aukeratu da eta bertatik bola bat atera. Ateratako bola zuria izateko probabilitatea maximoa izan dadin:
Nola egin behar da bolen banaketa? 
Ba al dago banaketaren bat non aipatutako probabilitatea1/2 baino handiagoa den?