2016-07-14

Kutxak, bolak eta probabilitatea (III)


PROBLEMA 1
Hiru kutxa ditugu. Lehenengoak bi bola zuri, bigarrenak bat zuria eta beste bat beltza eta hirugarrenak bi beltz ditu. Zoriz kutxa bat aukeratu ondoren, bertatik bola bat atera dugu. Ateratako bola beltza izan bada, zein da hirugarren kutxa aukeratu izanaren probabilitatea?


Lehenengo eta behin, gertaerak izendatuko ditugu:
  • Ki:     i. kutxa aukeratzea.
  • B:      Bola beltza ateratzea.
  • Ki/B: Jakinda bola beltza atera dela, i. kutxatik hartua izatea
  • B/Ki: i. kutxatik bola bat atera dugula jakinda, beltza izatea. 
Labur dezagun problema hau eskema baten bidez,


Hiru kutxetatik bat aukeratzen dugu, bata edo bestea erraztasun berberarekin, hirurak ekiprobableak baitira,
P(K1)=P(K2)=P(K3)=1/3
Probabilitate hauei "a priori" esaten zaie

Ondoren, aukeratutako kutxatik bola bat atera dugu eta beltza izan da.  Gertaera honek aukeratu dugun kutxari buruzko informazio berri bat ematen digu eta aldarazten du aukeraketa honen inguruan geukan iritzia.

Lehenengo kutxa ez da aukeratua izan ez baitu bola beltzik, K1 ezinezko gertaera bihurtu du informazio berri honek, P(K1/B)=0. Pentsa daiteke beste biak ekiprobableak direla, hau da, bata edo bestea aukeratzeko probabilitatea 1/2. Baina, ez da zuzena. Orain ebidentzia nahikiorik dago bi gertaera hauek ekiprobableak ez direla esateko.

Zenbatuko dugu K3-ko bi bolak (beltza1 eta beltza2). Bola bat atera eta beltza dela ikustean, ze koloretakoa geratzen da barruan?, hiru posibilitate daude:

  • Bola zuria, bigarren kutxatik beltza hartzen bada.
  • Bola beltza1, hirugarrenetik beltza2 hartzen bada.
  • Bola beltza2, hirugarrenetik beltza1 hartzen bada.

Hiru aukera hauek, simetria dela eta, ekiprobableak direla dirudi; beraz, bi aldiz probableagoa da bola beltza hirugarren kutxatik hartua izatea bigarrenetik baino,

P(K3/B)=2·P(K2/B) eta P(K3/B)+P(K2/B)+P(K1/B)=1
Hau da: P(K1/B)=0, P(K2/B)=1/3 eta P(K3/B)=2/3
(Probabilitate hauei "a posteriori" esaten zaie)


Tomas Bayesek arau bat asmatu zuen hau bezalako problemak era sistematiko batean ebazteko. Bayesen Teoremak probabilitateen berresleipena automatikoki egiten du eta mota honetako problemak orokortzea ahalbidetzen du.



Bayesen formula problema honetan aplikatuz,





Baldintzak hasierako probabilitaetan duen eragina argiago ikus daiteke honako adibidean:

PROBLEMA 2
Lehenengo kutxan 100 bola zuri, bigarrenean 99 zuri + 1 beltz eta hirugarrenean 100 beltz. Zoriz kutxa bat aukeratu ondoren, bola bat atera dugu. Azkeneko hau beltza izan bada, zein da aukeratutako kutxa hirugarrena izateko probabilitatea? Edo bestela esanda, apostua egin behar bazenu, zein kutxaren alde egingo zenuke?

Atera dugun bola beltza denez, aurrean daukagun kutxa ez da lehenengoa, beste bi kutxen artean erabaki behar da. Argi dago ez direla ekiprobableak, ezta urrik eman ere!

Hori zorte txarra!, mutur aurrean bigarren kutxa izan (jakin barik bigarrena dela), eskua sartu eta 100 bolen artean dagoen beltz bakarra hartu izan bagenu.

Erabakia ziztu bizian hartuko dugu, hirugarrena bigarrena baino 100 aldiz probableagoa baita.

Bayesen formula erabiliz:









*****