2016-09-29

Txanpon banaketa.


Aita batek txanpon kopuru bat banatu du bere hiru seme-alaben artean, ondoko eran:
  • Lehenengoari guztiaren erdia gehi txanpon bat eman dio.
  • Bigarrenari gelditu denaren erdia gehi txanpon bat.
  • Hirugarrenari gainontzekoa; hau da, gelditu denaren erdia gehi txanpon bat.
Horrela txanpon guztiak banatu ditu.

Zenbat txanpon banatu ditu guztira? Zenbat txanpon eman dizkio bakoitzari?

Eta 4 seme-alaba balira? eta 5? eta 6?....eta n? Ea orokortzen duzun.





Problema honek ebazpen aljebraikoa onartzen du, baina badago ebazpen aritmetiko-logiko bat oso erraza eta erakargarria. Ea aurkitzen duzun. Hiru esaldietako batean dago gakoa.
Beste aukera bat da probatzea kopuru desberdinekin (kantitate txikietarako egokia izan daiteke). Metodo honek problemaren egiturari buruzko informazioa ematen du eta ezinezko diren kopuruak baztertzen ere laguntzen du.






2016-09-28

Begi urdinen uhartea

Oraingoan proposatzen dizuedan problema benetan ederra da. Informazioa jaso, izan eta sakon aztertzearen garrantzia agerian uzten digu gaurko problema honek. Matematikaria eta kazetaria den Adrian Paenzaren "¿Cómo, esto también es matemática?" liburuan irakurri nuen lehenengo aldiz. 

Honela dio:


Uharte batean 100 persona bizi dira, batzuk begi urdinak dituzte eta beste batzuk marroiak. Pertsona bakoitzak beste guztien begien kolorea ikus dezake, berea ezik. Ezin dute beraien artean bigien koloreari buruz hitz egin. Ez dago norberaren begien kolorea ikusterik ezta jakiterik ere.



Irlan lege bat ezarri dute, eta lege horren arabera biztanle bat begi urdinak dituela jabetzen bada, hurrengo egunean goizeko 8:00retan alde egin behar izango du uhartetik.



Egun batean bisitari bat iristen zaie eta guztiei begira honela esaten du: "irla honetan gutxienez persona batek begi urdinak ditu"

Uhartean gutxienez persona batek begi urdinak zituela entzun eta gero, zer uste duzu gertatu zela?


Ondoren datorren azalpena irakurri baino lehenago, saia zaitez azaltzen itxuraz inozoa ematen duen esaldiak uharteko biztanleengan izango duen eragina.
Baina, nahi duzunean irakurri ea ados zauden.





AZALPENA

Bisitariak emandako informazioak  guztiz aldatzen du biztanleen egoera. Esaldi horrek, gezurra dirudien arren,  norbanakoaren begien kolorea agerian uzten du; eta ondorioz, begi urdinak dituzten biztanleak uhartea uztera behartuta egongo dira.


·   Uhartean begi urdinak dituen persona bakarra badago, honek, esaldia entzuterakoan, eta bere inguruko 99 biztaleek begi marroiak dituztela ikusita, irlako begi urdin bakarra bera dela ulertuko du. Ondorioz, legeak dionaren arabera, hurrengo goizean 8:00retan uhartea utzi beharko du.

·   Demagun orain 2 begi urdin daudela A eta B izenekoak. A-k 98 begi marroi eta 1 begi urdin (B biztanlea) ikusten ditu. Era berean, B-k begi urdin bat (A) eta 98 begi marroi. Bisitariak gutxienez persona batek begi urdinak dituela esan eta hurrengo goizean irlatik inor ez doala ikusita, A-k B ez dela begi urdin bakarra jakingo du,eta beste 98ak begi marroidunak direnez, berak begi urdinak dituela  jakingo du. Berdin gertatuko zaio B-ri. Horrela, 2. egunean goizean A eta B biztaleak joan egingo dira.

·   3 pertsona begi urdinekin badaude (A, B eta C izenekoak), zer gertatuko da? Kasu honetan hiru biztanle hauetako bakoitzak 97 pertsona begi marroiekin eta 2 begi urdinekin ikusten dituzte. A biztanleak honela pentsatuko du:  2 begi urdin bakarrik badaude, A eta B biztaleak, hauek 2. egunean irlatik joan beharko dira. Baina, bigarren egunean A eta B ez direla joan ikustean, berak ere begi urdinak dituela jakingo du (era berean arrazonatuko dute A-k eta B-k) eta 3. egunean hirurak joango beharko dira uhartetik.

·   Beste kasuetan ere antzera: 4 begi urdin 4. egunean alde, 5 begi urdin 5. egunean alde,…

Bizitzan informazioa etengabe jasotzen dugu. Sarri askotan informazio hau ez dugu sakon aztertzen, eta guretzat eta gure inguruentzat probetxugarria eta onuragarria izan zitekeena alperrik galtzen dugu. Problema honek zera erakusten digu: entzutea, irakurtzea, informazioa jasotzea eta ondoren hausnartzea matematika egitea ere badela; eta matematika egitea bizitzarako onuragarria izan daiteke.



2016-09-26

Tenis-partidak eta probabilitatea


Hona hemen intuizioari burla egiten dion probabilitate-problema polit bat. Ikerketa moduan proposatu daiteke DBH 4. mailan edota Batxilergoan.



DBH-ko 4. mailako ikasleek kurtso amaierako ikas-bidaia antolatu dute, baina bi helduren laguntza behar dute ikas-bidaira joan ahal izateko. Matematikako irakasleak, Elena eta Rakel, gonbidatu dituzte arduradun moduan joateko; baina hauek, probabilitatearen gaiarekin dihardutela aprobetxatuz eta ikasleak motibatzeko asmoz,  ondoko problema erakargarria proposatu diete:

"Dakizuen moduan Elenak eta biok tenisa oso gustoko daukagu. Jokatu ere ahal dugunean egiten dugu, baina Rakel ni baino trebeagoa da, hobeto jokatzen du. Aukeratu behar duzue zeuen artean gelako txapelduna, onena noski!, gure kontra hiru partida jokatzeko; baina partida bakoitzean aurkariaz aldatu behar du (Elena-Rakel-Elena edo Rakel-Elena-Rakel). Bi partida jarraian irabazten baditu ikas-bidaiara joango gara...



Beno, errazagoa ipiniko dizuegu. Arrazoi probabilistikoak emanez, ondorengo galderari ondo erantzuten badiozue, joango gara:

Zein aukeratu behar duzue lehenengo partidarako Elena ala Rakel, bi partida jarrain irabazteko probabilitatea handiagoa izan dadin?
Beste era batean esanda, Elena-Rakel-Elena edo Rakel-Elena-Rakel, zein ordenetan komeni zaizu aukeratzea aurkariak?
Zergatik?"

Demagun zuen ordezkariak Rakeli irabazteko duen probabilitatea p eta Elenari irabaztekoa q dela. Argi dago p txikiagio dela q baino. Errazago iruditzen bazaizue, eman balio bat, nahi duzuena, p-ri eta beste bat q-ri.



Buruari eragin gogoz eta, ondoren, begiratu hemen proposatzen den soluziobidea:


SOLUZIOA



*****

Zenbakiekin jolasean


ZENBAKIAK 1

Irudiko zirkunferentzian 4 diametro marraztu ditugu. Kokatu zirkunferentziaren zentruan eta segmentuen muturretan dauden hutsunetan 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 eta 9 zenbakiak, diametro bakoitzean kokaturiko zenbakien batura konstantea izan dadin.






ZENBAKIAK 2

Beheko irudian erradio bereko hiru zirkunferentziek sei puntuetan ebakitzen dute elkar. Ebaki puntuetan hutsik duden sei zirkulu marraztu dira. Kokatu zirkulu txikietan 1, 2, 3, 4, 5 eta 6 zenbakiak, zirkunferentzia handi bakoitzean dauden lau zenbakien batura 14 izan dadin:






ZENBAKIAK 3

Kokatu triangeluaren aldeen gainean dauden hutsunetan 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 eta 9 zenbakiak, halako moldez non alde bakoitzean dauden zenbakien batura 17 den.



ZENBAKIAK 4
Irudiko trianguluaren aldeetan sei zirkulu daude:




a) Jarri Zirkuluetan {1, 2, 3, 4, 5, 6} zenbakiak, triangelu handiaren aldeetako hiru zenbakien batura 12 izan dadin.
b) Egiaztatu a ataleko batura ezin dela 13 izan.
c)  Ikertu ea posiblea ote den hiru aldeetako hiru zenbakien batura eta erdiko triangelu txikian daudenen batura berdina izatea.


ZENBAKIAK 5
Zenbaki arruntak irudiak erakusten duen eran kokatu ditugu: lehenengo zutabean 1, bigarren zutabean hurrengo hiru zenbakiak, hirugarrenean hurrengo bostak,...


Zenbatekoa da hamargarren zutabean dauden zenbakien batura?



2016-09-23

Zainzuriak, haria eta proportzionaltasuna.


Irakurri azokan gertaturiko ipuin bitxi hau eta, ondoren, erantzun galderei proportzionaltasunari buruz ikasitakoa kontuan izanik.

Behin batean, Nafarroako zainzuriak saltzen zituen Zipriano jauna hurbildu zen gure herriko azokara. Ixabel inguratu zitzaion eta poltsan zeraman hari zati bat erakutsiz, honela esan zion:

    - Lotu mesedez hari honekin ahal beste zainzuri eta esan zenbat zor dizudan.

Ziprianok:
    - Tori Ixabel. 10 €, merke-merke!


Hurrengo zapatuan, Ziprianorengana ondoratu zen berriz Ixabel; poltsatik luzera bikoitzeko hari bat atera zuen eta zainzuriak lotzeko eskatu zion.

Ordaintzeko orduan, 20 € eman zizkioin hau esanez: "Gaur ere merke-merke daude, ezta? Orduan, aurreko zapatuan 10€ ordaindu banizkizun, oraingo honetan, hariaren luzera bikoitza denez, horixe ordainduko dizut, bikoitza, 20€.

Ziprianok, burua mugituz, baietz esan zion.

Ixabel irribarretsu aldendu zen Zipriano pentsakor utzita.

Zergatik uste duzu Zipriano pentsakor gelditu zela? Tratu justua deritzozu? Zer esango zenioke saltzaileari?

Hona hemen proportzionaltasunari buruzko hiru grafiko:


Hiru grafiko hauetatik zein aukeratuko zenuke salmentan gertatutakoa saltzaileari azaltzeko?





*****
  

2016-09-20

Labirintoan galdurik


Irudian edifizio baten planoa ikus daiteke. Eraikinak 64 gela ditu, guztiak berdinak eta karratuak. Barruko gelek 4 ate dituzte, gela batetik ondoko gelara igarotzeko, eta fatxadaren ondokoek 2 edo 3 ate. Irudian ateak zuriz margotuta daude.



Hauxe da jakin nahi duguna :

Sarrerako gelan gaude eta irteerara iritsi nahi dugu aske geratzeko. Gela bakoitzean mezu bat dago, denera 64. Mezu guztiak jasotzen baditugu, irteerako atea zabaltzerik izango dugu. Baina, gela bakoitzetik irtendakoan gelako ateak ixtsiko dira eta ezin izango dugu berriro sartu. Hau da, derrigorrez gela guztietan sartu behar gara eta behin bakarrik.
Badago estrategiaren bat aske geratzeko? Bestela esanda, posiblea al da edifizioan sartu eta gela guztietatik behin bakarrik pasatuz irteerara iristea? Arrazonatu.


*****


Ondoren, pistatxo bat emango dizut, baina, lehendabizi saia zaitez begiratu barik ebazten.



Laguntza: agian xake taula baten antzera margotzen baduzu planoa, errezago ikusiko duzu problema honen "irteera".



Gogoratu txingurriaren problema ("Txingurriaren ibilbidea"), antzera arrazona daiteke.



*****

2016-09-19

Lursailaren banaketa


Eñaut eta Leire anai-arrebek irudiko forma triangeluarra duen lursaila azalera bereko bi zatitan banatu nahi dute.



BC aldearen P puntuan dagoen putzua partekatzeko P-tik AC alderaino bi zatien muga lerro zuzenean eraikiko dute; baina asma ezinka dabiltza.
Lagunduko al diezu? Bururatzen al zaizu non kokatu behar den Q puntua AC aldean ABPQ lauki erako lursaila eta PQC lursail triangeluarra azalera berekoak izan daitezen?




Laguntza

  • A puntua P puntuarekin lotu.
  • BC aldearen E erdiko puntua aurkitu.
  • A puntua E puntuarekin lotu.
  • E puntutik doan AP zuzenkiarekiko zuzen paraleloa marraztu. Zuzen honek Q puntuan ebakitzen du AC aldea.


Bestetik, edozein triangelutan ondoko propietate hau egiaztatzen da:

"Triangelu baten oina eta honen aurkako erpina lotzen dituen segmetuak hasierako triangelua bi triangelutan zatitzen du, halako moldez non triangelu berrien azaleren arteko erlazioa eta oinen artekoa berdinak diren"


Proipietate hau Geogebraz argi asko ikusten da. Mugitu D puntua:





Egiazta dezagun matematikoki propietate hau:

ADB eta DCB triangeluen altuera = h; orduan bakoitzaren azalera,

ADB triangeluaren azalera = S'' = b2·h/2

DCB triangeluaren azalera = S' = b1·h/2

Bi adierazpenetan h/2 isolatuz eta berdinduz,



S'' / bS' / b1 
Beraz,
S'' / S' b/ b1

Ea propietate hau erabiliz goiko irudiko Q puntuaren kokapena justifikatzen duzun.

Zama-trenaren adiadura


Bidaiari-tren batek 90 Km/h-ko abiaduraz norantza berean doan zama-tren bat harrapatzen duenetik t denbora behar du guztiz aurreratzeko. Bi trenak aurkako norantzaz gurutzatzen direnean, aldiz, t/2 denbora erdian aldentzen hasten dira.




Zein da zama-trenaren abiadura?


*****

Aldeak luzatuz


Irudiko ABCD laukizuzenaren aldeak luzatu ondoren, EFGH laukia eratu da:



ED=2AD, AF=3AB, BG=2BC eta CH=3CD 

Zein da ABCD eta EFGH laukien azaleren arteko arrazoia?





*****

Botilen banaketa


Hiru lagunen artean litro bateko 21 botila banatu behar dira. 

7 botila likidoz goraino daude beteta, 7 erdirarte bakarrik eta 7 hutsik.


Lagun bakoitzari likido kantitate eta botila kopuru bera eman behar zaio. 


Nola egin behar da banaketa?


(Oharra: likidoa ezin da ontziz aldatu) 

*****

2016-09-12

Karratuaren zatia


Irudiko karratuaren 3/4 grisez margotu dugu. Ondoren, gelditzen den laurdenaren laurdena ere grisez. Jarraian, beste laurden bat eta horrela behin eta berriro.
Limitean, hasierako karratuaren zein zati agertuko da margotuta?





Hona hemen bi ebazpen mota, geometrikoa eta analitikoa. Baina, lehenengo saia zaitez begiratu barik.







*****

Txingurriaren ibilbidea


Irudiko forma duen alanbre baten gainean txingurri batek ibilbide bat egin behar du:



Ibilbidea markatuta agertzen diren 9 puntuetatik behin bakarrik igaroz egin nahi du. Hau da, erpin guztiak zapaldu behar ditu eta behin bakarrik.

            Lagunduko al diozu? 
            Bere nahia bete ahal izango du?
            Azaldu arrazonatuz.



 

Jarraian problema hau ebazteko estrategia bat:


 



*****

2016-09-11

Txanponak eta Kutxak


Felisatxo diruzale amorratuak zeuzkan txanpon guztiak 7 kutxatan gordetzea erabaki zuen.

Lehenengo kutxan txanpon guztien 2/3 sartu zuen, bigarrenean gelditzen zirenen 2/3, hirugarrenean berriz ere gainerakoen 2/3,... 

Bukatu zuenean txanpon bakar bat gelditu zitzaion eskuan kutxetan sartu gabe.


Zenbat txanpon zituen gure Felisatxok?


Zenbat txanpon gorde zituen kutxa bakoitzean?







Erraz pentsatuz edota diagrama baten laguntzaz, Felisatxoren altxorra gure esku.

Ondoko aurkezpenean ebazpide bat doakizue:




 





*****

2016-09-10

"Problemen ebazpena lankidetzan blog batekin" Prest-Gara ikastaroa (2016-17)


Aurten irailaren 12an hasiera emango diogu "Problemen ebazpena lankidetzan blog batekin" izeneko ikastaroaren bigarren edizioari.

Ikastaroaren ardatza, problemak ebaztea izango da; sormena, irudikapena, pentsamendu dibergentea, intuizioa,... martxan jartzea eskatzen duten problemak.

Bereizketa egingo dugu ariketak eta problemen artean.

Ariketak, ohi denez, testu liburuetan gai baten amaieran agertzen dira aurretik gaiaren garapenean ikasitako hainbat algoritmo praktikatzeko. Helburua prozedura eta mekanismo hutsak aplikatzean datza; beraz, argi eta garbi dago zer egin behar den ebazteko. Egoera itxiak aurkezten ohi dituzte eta ez diote sormenari lekurik egiten.

Problemen ezaugarriak, aldiz, oso bestelakoak dira. Benetako problema bat, erronka bat da, desafio bat; hasiera batean zer egin behar den badakigu, baina ez dakigu nola. Problema hauek egoera irekiak aurkezten ohi dituzte. Sormenak eta albo-pentsamentuak berebiziko garrantzia izaten dute. Hainbat estrategia erabiltzera bultzatu eta gure ezagupenetan eta esperientzietan sakontzera eramaten gaituzte; goi mailako konpetentziak garatzen dituzte.

Adibidez, zenbaki arrunt bat faktore lehenetan deskonposatzea ariketa bat da DBHko ikasle batentzat, ordea, nolakoak diren hiru eta bakarrik hiru zatitzaile dituzten zenbakiak aztertzea problema bat da.

George Polya eta Miguel de Guzmanen ideiak gidari, problemak ebazteko jarreraren garrantzia, faseak eta estrategiak aztergai izango dira adibideetan oinarrituta. 

Problemak elkarri proposatu eta ebatzi egingo ditugu blogaren bidez lankidetzan. Sarean edota liburuetan problemak bilatu, euskaratu eta blogean publikatzea zereginik nagusia izango da.

Joxemari Sarasuak, Josu Gotzon Ruiz de Gaunak eta Jesus Garcíak "Arrazoibide matematikoa eta problemagintza" liburuan honela diote: 

"Matematika-problema bat ebazteko enfasia ez datza horrenbeste soluzioa lortze hutsean, nola horretara iristeko erabili diren metodoetan. Eskolako bezalako modelizazioa-testuinguru batean, problema bati ematen zaion erantzunak, ikaskuntzaren eta arrazoibide matematikoaren ikuspegitik, garrantzi gutxiago du hura lortzeko erabili den prozedurak baino"

Bat nator esaldi honetan esaten denarekin eta problemen ebazpena ikasleekin lantzen dugunean edota guk geuk ebazteari ekiten diogunean, beti ere kontuan izan beharko genuke.


Ongietorri guztioi



PROBLEMEN EBAZPENA LANKIDETZAN BLOG BATEKIN


"Matematikako problemak ebaztea baino atseginagoa da problemak proposatzea"

George Cantor



"Matematikaria izatearen arrazoi nagusia problemak proposatzea eta ebaztea da; problemen ebazpena Matematikaren bihotza baita"

P. R. Halamos

BIDEOAK



Jose Angel Murcia (Tocamates bloga), "Me gustan los problemas"





Adrián Paenza, "El placer de tener un problema no resuelto en la cabeza"






*****