2016-10-15

Problema olinpikoak ebazten


Esnatu zure sena matematikoa eta ekin problemak ebazteari. Klikatu THATQUIZ-PROBLEMAK izenaren gainean edo irudian eta Euskadiko olinpiadetako 10 problema proposatuzo zaizkuizu. Problema bakoitzean lau aukeren artean erabaki beharko duzu Amaieran emaitzak ikusgai izango dituzu. Erronka polita eta dibertigarria, baina gogoz pentsatu behar da. 








*****


2016-10-13

Zenbaki lehenen bila zenbaki konposatuak ezabatuz


Zenbaki lehenak determinatzeko ezagutzen dugun metodorik zaharrena Kristo aurretiko III. mendean Eratostenes matematikariak Egiptoko Tolomeo erregeari aurkeztutakoa da. Eratostenesek taula batean lehenengo hiruzpalau mila zenbaki idatzi zituen, zenbaki konposatuak zulatuz bakarrik zenbaki lehenak utzi zituen bistan. Erabili zuen metodoa Eratostenesen bahea izenarekin ezagutzen da.
Badago metodo edo prozedura aritmetiko-geometriko bat zenbaki lehenak bizkor lortzeko. Oso bisuala, deigarria eta erakargarria.
Bideo honen irudiek hitzik gabe azaltzen digute prozedura:


 


Irudiek nahiko garbi hitzegiten badigute ere, hona azlpentxo bat hitzez:

Bitik hasita 6 zutabetako taula batean zenbaki arrunten segida idazten dugu. Era honetan zutabe bakoitzeko elementuak diferentzia 6 duen segida aritmetiko baten gaiak dira, n-garren gaia zutabeka ondokoa delarik,

  1. Zutabea: an1 = 2+(n-1)·6 = 6n-4
  2. Zutabea: an2 = 3+(n-1)·6 = 6n-3
  3. Zutabea: an3 = 4+(n-1)·6 = 6n-2
  4. Zutabea: an4 = 5+(n-1)·6 = 6n-1
  5. Zutabea: an5 = 6+(n-1)·6 = 6n
  6. Zutabea: an6 = 7+(n-1)·6 = 6n+1

Zera ondorioztatzen da:
  • Lehenengo zutabeko elementuak konposatuak dira (2 ezik); orduan, ezabatu.
  • Bigarren zutabekoak konposatuak dira (3 ezik); ezabatu.
  • Hirugarren eta bostgarren zutabeak ezabatzen dira, zenbaki guztiak konposatuak direlako.
  • Aurreko puntuetan 2,3 eta 4 zenbakien multiploak ezabatu ditugu.
  • 5,10,15,20 diagonal batean daude (ezabatu 5 ezik).
  • Aurreko lerroarekiko paralelo eta beheruntza 5ko distantziara 25,30,35,40,45,50 aurkitzen dira (ezabatu). Hurrengokoan 55,60,65,...ezabatu. Era honetan jarraituta 5ren multiplo guztiak desagertzen dira.
  • Ezabatu bariko hurrengo zenbaki lehena 7 da. Honen multiplo guztiak 7ko distantziara dauden beste norabideko diagonaletan eta paraleloki kokatuta aurkituko ditugu (ezabatu).
  • Berdin jokatuko dugu 11, 13 eta abarren multiploekin.
  • Ezabatu gabe gelditzen direnak zenbaki lehenak dira.



Zenbaki lehen baten multiploak zuzen diagonaletan daude. Galdera:
Zein da holako zuzen bakoitzaren malda?



Amaitzeko zenbaki lehenak Adrián Paenzaren eskutik:







***** 

Matemagiaz blai (II)

Bederatzia zenbaki emankorra eta jolastia dugu. Hainbat zenbaki eta kartetako joku bederatziaren propietate berezietan oinarritzen dira. Gure zenbaki sitemaren oinarria den 10tik horren gertu egoteak (unitate batera) badu zerikusirik.
Ona hemen 9ren propietate miresgarrietan oinarritzen diren hainbat adibide:


BEDERATZIAREN MULTIPLOA

Jolastu lagun batekin ondoko eran,


  1. Bi zifrako zenbaki bat pentsatzeko esan (Ad.: 38)
  2. Zenbaki hori bider 10 egiteko (380)
  3. 90 baino txikiagoa den 9ren múltiplo bat aukeratzeko (18)
  4. Bigarren ataleko emaitzari kentzeko hirugarren atalean aukeratutakoa(380-18=362)
  5. Azkeneko emaitza esateko eskatu. Hasierako zenbakia erraz asmatuko duzu (36+2=38)
Nahikoa duzu bostgarren pausoan lagunak esandako zenbakia bitan banatzea: ehuneko eta hamarrekoen zifrek eratutako zenbakia eta unitateen zifra. Bi hauek batuz gero, hasierako zenbakia daukagu.

Baina zergaitik? Zein da joku honen azalpen matematikoa?

Aljebra apur bat erabiltzea besterik ez duzu:










EZABATUTAKO ZIFRA

Ikaskideen aurrean boluntario bat eskatu laguntzeko eta ondorengo pauso hauek jarraitzeko eskatu:

  • Pentsatu 4 zifrako zenbaki bat
  • Pentsatutako zenbakiaren zifren batura egin
  • Batura hori hasierako zenbakiari kendu
  • Kenketaren emaitzean zero ez den nahi duzun zifra ezabatu
  • Ezabatu gabeko zifrak nahi duzun ordenean esan ozenki.
Guztien harridurako, berehalako batean lagunak ezabatutako zifra zein den asmatu egingo duzu.

Nola? Zertan oinarritzen da?  (gogoratu zenbaki bat 9ren multiploa izateko baldintza)

Saia zaitez azalpena bilatzen. 








HIRU ZIFRAKO ZENBAKIA



Ikasle batek kapikua ez den hiru zifrako zenbaki bat aukeratu behar du. Ondoren, ehunekoen eta batekoen zifrak trukatu behar ditu zenbaki berri bat lortzeko. Aurreko bi zenbakien arteko diferentzia (handia ken txikia) kalkulatu eta diferentzia horren azkeneko zifra esaten badizu (berdin lehenengoarekin), diferentziaren beste bi zifrak asmatuko dituzu, guztiak aho zabalik utzita.





1089

Aurreko jokoaren aldaera bat da.
Aurretik iragarri azkeneko emaitza 1089 izango dela. Jarraian goiko jokuan egin dugun moduan jokatu. Kapikua ez den hiru zifrako zenbaki bat auketu (lehenengo zenbakia), ehunekoen eta batekoen zifrak trukatu (bigarrena),  diferentzia kalkulatu (hirugarrena), kenketaren emaitzean ere ehuneko eta batekoen zifrak trukatu (laugarrena) eta azkenik bi hauek (hirugarrena eta laugarrena) batu. Hortxen dago aurresan dugun zenbakia: 1089.

Adibidea:
  • 328 aukeratutako zenbakia (lehenengoa)
  • 823 Ehunekoen eta batekoen zifrak trukatuta (bigarrena)
  • 823-328=495 diferentzia (hirugarrena)
  • 594 Ehunekoen eta batekoen zifrak trukatuta (laugarrena)
  • 495+594=1089 hirugarrena eta laugarrena batuz


Ea asmatzen duzun zergatia. Gogoratu hiru zifrako zenbaki baten idazkera hamarren berreduren menpe:  abc=100a+10b+c eta cba=100c+10b+a.





 Suma  aldizkarian (52 zenbakian) 9ren magia duzue "Grupo Alquerque de Sevilla"ren eskutik "La Magia del Nueve" artikuluan.

2016-10-11

Ehiza kartesiarra


Esnatu zure arima matematikoa ondoren datorren jokoan estrategia irabazlea aurkitzeko.

Honako 8x8 neurriko taulan jokatuko da:



Hauek dira jokoaren arauak:
  • Beheko eta ezkerreko laukian fitxa bat jarriko da. 
  • Bi jokalarik (A eta B izenekoak) jokatuko dute.
  • A jokalaria hasiko da eta txandaka jokalari bakoitzak fitxa mugituko du ondoko lauki batera.
  • Baimendutako mugimenduak: gora, eskumara eta diagonalean, irudian ikusten den eran.
  • Helmugara iristen den lehena irabazlea izango da.

Bururatzen al zaizu estrategia bat beti irabazteko?
Zeinek dauka estrategia irabazleak? A Lehenengo jokalariak ala  B bigarrenak?

Eta beste taula honetan jokatzen bada?



Eta hirugarren honekin?








AZALPENA

Kasu errazagoak aztertuko ditugu: 2x2, 3x3, 4x4,...


2x2koa 3x3koan txertatzen da, 3x3koa 4x4koan,...

2X2koan A-k irabazi.
3X3koan A-k galdu.  
4X4koan A-k irabazi.
5X5koan A-k galdu.  
·························  
8X8koan A-k irabazi.


Berdez margotu dira posizio irabazleak; hau da, bere txandan fitxa lauki berde batean aurkitzen duena, irabazteko asmoarekin jokatzen badu, irabaziko du aurkariari fitxa lauki gorri batean uzten badio.
Beraz, lauki irabazleak berdez margotu dira eta galtzaileak gorriz. Lauki berde batetik aukera dago fitxa lauki gorrira eramateko (edo azkeneko mugimenduan helmugara). Lauki gorri batetik derrigorrez berdera igarotzen da, eta horrela, aurkariak irabaziko du.


Estrategia hau 8x8ko kasura zabalduz:



Beraz, lehenengo jokalariak estrategia irabazlea dauka.

Eta bigarren taularekin jokatzen bada? Eta hirugarrenarekin? Zeinek irabaziko luke?

Asmatu zuek beste tablero batzuk eta aurkitu estrategia irabazlea.





*****

2016-10-08

Enekoren lagunen paradoxa


Enekok uztaila osoan Irlandan igaro ondoren, bueltan da aireportuan. Aita eta ama bere bila hurbildu dira aireporturaino.

Aitak honela galdetu dio semeari: "Lagun berririk egin duzu?", Enekok: "bai, bi lagun".
Aitak berriz: "lagunen bat neska al da?", "bai" erantzun dio Enekok


Orduan, bi lagunak neskak izateko probabilitatea 1/3 da.
Zergatik?




Ondoren, amak: "urrutitik ikusi dudan gorriz jantzita doan laguna neska al da?" Enekok: "bai".





Orduan, Enekoren bi lagunak neskak izateko probabilitatea 1/2 da.
Zergatik?



2016-10-07

Monty Hall-en problema


1963tik 1990ra Estatu Batuetako telebistan Monty Hall-ek aurkezten zuen "Let's Make a Deal" lehiaketa programa emititu zuten. 




Programaren dinamika, hauxe da:


Programaren bukaera aldera lehiakideak itxita dauden hiru atetik bat aukeratu behar du, batean sari on bat dago eta beste biak hutsik daude (jatorrizko programan, beste bietan ahuntza bana zegoen). Ate bat aukeratutakoan, aurkezleak (honek ondo daki saria non dagoen) hutsik dagoen (edo atzean ahuntza duen atea) irekitzen du. Ondoren, aukera ematen dio lehiakideari aldatzeko, lehen aukeratu duen atea utzi eta bestea hautatu.
Zuk zer egingo zenuke? aldatu ala ez?


Problema hau "Monty Hall-en problema" izenarekin ezaguna da, eta oso historia polita du atzean:

Garai hartan oso ezaguna zen Marilyn vos Savat, Errekorren Guinness Liburuan agertzen zen munduko koefiziente intelektual handiena zuelako (228). Marilyn-ek "Preguntas a Marilyn" egunkari zutabean idazten zuen. Behin, zera idatzi zuen: "¿Abantaila dago atea aldatzea erabakitzen bada?". "Bai, hobe da aldatzea, beti aldatu beharko genuke". Kritikak handik eta hemendik iritsi zitzaizkion; 10.000 inguru gutun jaso zituen, horien artean irakasle eta matematikariek idatzitakoak ere: "irabazteko probabilitatea eta galtzekoa ere ate bat ireki ondoren 1/2 da", "aitortu zure akatsa, eta hurrengoan zuhurtasunez jokatu", "zenbat matematikari gehiagok idatzi behar dizute iritziz aldatzeko"...


Marilyn-ek arrazoia zeukan, eta idatzi zioten guztiek huts egin zuten. Atez aldatzen bada irabazteko probabilitatea nabarmen handitzen da (bikoiztu egiten da).




AZALPENA

Adrián Paenzaren azalpena:








21 Black Jack pelikulan ematen den azalpena:
  


Raul Ibañezen azalpena:





Azalpena eskema baten bitartez:





Problema honi buruz:    Suma aldizkaria
                                   Hiru ateen problema



Problema hau oso erakargarria da probabilitatearen gaiari hasiera emateko, eta, bide batez, probabilitate problema batzuk ez direla batere intuitiboak ikasleei ikusarazteko. DBH-ko 2. zikloan lantzen da probabilitatea, baina, 1. ziklokoan problema moduan aurkez daiteke.  Problema aurkeztu ondoren galdetuko diegu ea beraiek zer egingo luketen. Jarraian, planteatu dezakegu problema bera baina 100 aterekin: bat aukeratzen da eta hutsik dauden 98 ate ireki ondoren, aldatzeko aukera eman, ¿zer egingo zenukete kasu honetan?





*****

Simpson-en paradoxa eta portzentaje globalak


Hainbat azpitaldetan banatutako taldeen portzentaje globalak interpretatzerakoan, ADI!!, sarri okerreko ondorioetara iristen baikara; hau da, ondorio bat ateratzen dugu benetakoa kontrakoa denean. Fenomeno hau "Simpson-en paradoxa" moduan ezagutzen da.

Ikus dezagun adibide bat:

Enpresa handi batek 250 lanpostu eskaini ditu hiru departamentuetarako (Salmentak: 30; Muntaia: 200 eta Biltegia: 20). Denera 355 gizon eta eta 325 emakume aukeztu dira. Hauetatik 190 gizon (%53,5) eta 60 emakume (%18,5) onartuak izan dira. Sail bakoitzean aurkezturiko gizon eta emakumeen prestakuntza maila antzerakoa izan da.

¿Baieztatu daiteke emakumeak diskriminatuak izan direla?



AZALPENA

Gezurra dirudien arren, erantzuna ezezkoa da.

Azter dezagun egoera hau behar den moduan datu guztiak kontuan izanik:



Taulako datuen arabera, sail guztietan onartutako emakumeen kopurua ehuneko hainbestean handiagoa izan da gizonena baino. Eskainitako lanpostu gehienak muntaiarako izan dira (200), plaza guztien %80a, hain zuzen. Lanpostu hauetarako 250 gizonezko aurkeztu dira (gizon guztien %70,42) eta emakumezko gutxi (25 bakarrik, emakume guztien %7,69); hortxen dago gakoa, honek okerreko interpretaziora eramaten gaitu.


Iturria: "La certeza absoluta y otras ficciones. Los secretos de la estadística" (Pere Grima). El mundo es matemático.




*****

Azterketa egunaren paradoxa

Ostiral arratsaldea da. Gure ikastetxeko matematikako irakasleak, astean zehar ikasleek izan duten portaera eskasa dela eta, haserre bizian honela esaten die ikasle bihurriei:

    "Datorren astean azterketa izango duzue, baina ez dizuet esan behar zein egunetan, azterketa egin behar duzuen egunean bertan goizeko 8:00tan jakingo duzue egun horretan izango dela, ez duzue aurretik jakiterik izango. Baldintza hau derrigorrezkoa, eta bete ezean azterketa ez genuke egingo" 



Ikasleek hasiera batean zur eta lur geratu ziren, baina, apur bat euren artean gaia aztertu eta eztabaidatu ondoren, irribarrea nagusitu zen. Pozik joan ziren etxera matematikako liburua gelan utzita, bazekitelako irakasleek ipinitako balditza ezin zela inolaz ere ez bete eta, ondorioz, ez zutela azterketarik izango.




Nola uste duzu arrazoitu zutela ondorio horretara iristeko?



AZALPENA


Ikasleak euren artean eztabaidatzen ari zirela, batek honela esan zuen:


"Ostiralean ezin digu azterketarik jarri berak ipinitako baldintza ez delako betetzen. Ostegunerako ez badugu egin, orduan ostirala baino lehenago jakingo genuke ostiralean dela azterketa eguna. Irakasleak esan zuenez, egunean bertan goizeko 8:00tan jakinko dugu azterketa  egun horretan izango dela eta baldintza hau nahitaezkoa da. Ondorioz, ostiralean ezin da izan."

Berehala beste ikasle batek:


"baina arrazoi berdinagatik ostegunean ezin da egin, asteazkenean ez bada egiten aurretik jakingo genukeelako azterketa ostegunean dela, zuk lehen esan duzunez ostiralean ezinezkoa baita. Berriz ere, irakaslearen araua apurtu egiten da."

Era honetan atzeruntz eginez ez asteazkenean, ez asteartean, ezta astelehenean ere azterketa ezin zela egin konturatu ziren.
Paradoxa polita benetan, ez dakigu irakasleak nola hartu zuen ikasleen arrazonamedu hau; baina puntu positiboa bai merezi zutela.





*****

2016-10-06

Blyth-en paradoxa


Gaixotasun baten aurkako botika baten efektibitatea 1 eta 6ren arteko balioekin neurtzen da.

Merkatuan botika honen bi formatu daude: A eta B

A formatuaren efektibitatea 3 da beti.
B formatuarena, berriz, aldakorra da: denboraren 51%ean bere efektibitatea 1 da eta 49%an, berriz, 5ekoa.

Kolmogorov doktoreak bi formatoen artean aukeratu behar du paziente bat tratatzeko. 


  • A eta Bren artean zein komeni zaio aukeratzea bere pazientea sendatzeko aukera gehiago izan dezan?




Hirugarren  formatu bat (C) agertu da merkatuan. C botikaren portaera honako hau da: denboraren 56% bere efektibitatea 2 koa da, 22% 4koa eta 22% 6koa.


  • A eta C formatuen artean zein formatu gomendatuko zenioke zuk? 
  • Eta B eta C-ren artean? 
  • Eta A, B eta C hiru botikak izango balitu, zein komeni zaio aukeratzea?
  • Sorpresa hartuko al du Kolmogorov doktoreak?



*****


2016-10-05

Kuboa zulatzen


5x5x5 dimentsioak dituzten bi kubo zulatu ditugu aurpegi batetik aurkako aurpegira doazen tunelak eraikitzeko: 

A

B




Zenbat kubo txiki kendu behar izan dira kasu bakoitzean?




*****

Berehalako problemak


Ondoren berehalako problema sorta; hau da, arkatza eta papera erabili gabe edo buruz ebazten diren problemak.



TXAKURRAK KATUAK ETA LOROAK

Honako hau jakinda:
Denak txakurrak dira bi izan ezik.
Denak katuak dira bi izan ezik.
Denak loroak dira bi izan ezik.



Zenbat animalia dauzkat etxean?



ZENBAT 9ko?

Kale batean 100 eraikin daude. Eraikin guztien atarian zenbakiak jarri nahi ditugu 1tik 100ra.

Zenbat 9ko behar ditugu?


EHUNEKOAK

Zer izango da handiagoa?

75en %25a edo 25en %75a


FORMULA 1ko GIDARIA

Formula 1ko gidari batek Jarama zirkuitoari bira oso bat emateko minutu bat eta 23 segundu erabiltzen ditu.

Erritmo berean jarraituz, zenbat denbora behar izango du 60 bira emateko?


DIRU KOPURU BERBERA

Enaitzek eta Leirek diru kopuru berbera daukate.

Zenbat euro eman behar dizkio Enaitzek Leireri, azken honek Enaitzek baino 10€ gehiago izateko?


ARTZAIN ARTEAN

Artzain batek honako hau estaen dio beste artzain bati:


"Nire ardi bat oparitzen badizut, nik izango dudan kopuruaren bi halako izango duzu zuk.
Baina, ordea, zure ardi bat ematen badidazu, orduan biok kopuru berbera izango genuke".

Zenbat ardi zeuzkan bakoitzak?


ZER ORDU DA?

Ze ordu izango da, eguna amaitzeko pasa diren orduen herena falta bada?


GARAGARDOAK

Gizon eta erdi batek garagardo eta erdi bat edaten badute egun eta erdi batean, zenbat garagardo edango dute sei gizonek sei egunetan?




UNTZIAK ETA USOAK

Kaiola batean untziak eta usoak daude, guztira 35 buru eta 94 hanka.

Zenbat hegazti daude?


FILM BITXIA

Film batek egun bikoitietan ikusten dugunean ordu bat eta hogei minutu irauten du.
Egun bakoitietan, aldiz, 80 minutu bakarrik,

Nola???



*****

2016-10-04

Orriaren azalera


Alde batetik zuria eta bestetik grisa den orria 3 aldiz tolestu dugu irudian ikusten moduan.



Orria tolesten dugun bakoitzean laukizuzen zuri bat bistan geratzen da. Laukizuzen hauen perimetroak P1 , P2 eta P3 dira.

Baldin P1 = P2 + 20 eta P2 = P3 +16 badira,

Kalkulatu hasierako orriaren azalera.