2016-10-15

Problema olinpikoak ebazten


Esnatu zure sena matematikoa eta ekin problemak ebazteari. Klikatu THATQUIZ-PROBLEMAK izenaren gainean edo irudian eta Euskadiko olinpiadetako 10 problema proposatuzo zaizkuizu. Problema bakoitzean lau aukeren artean erabaki beharko duzu Amaieran emaitzak ikusgai izango dituzu. Erronka polita eta dibertigarria, baina gogoz pentsatu behar da. 








*****


2016-10-13

Zenbaki lehenen bila zenbaki konposatuak ezabatuz


Zenbaki lehenak determinatzeko ezagutzen dugun metodorik zaharrena Kristo aurretiko III. mendean Eratostenes matematikariak Egiptoko Tolomeo erregeari aurkeztutakoa da. Eratostenesek taula batean lehenengo hiruzpalau mila zenbaki idatzi zituen, zenbaki konposatuak zulatuz bakarrik zenbaki lehenak utzi zituen bistan. Erabili zuen metodoa Eratostenesen bahea izenarekin ezagutzen da.
Badago metodo edo prozedura aritmetiko-geometriko bat zenbaki lehenak bizkor lortzeko. Oso bisuala, deigarria eta erakargarria.
Bideo honen irudiek hitzik gabe azaltzen digute prozedura:


 


Irudiek nahiko garbi hitzegiten badigute ere, hona azlpentxo bat hitzez:

Bitik hasita 6 zutabetako taula batean zenbaki arrunten segida idazten dugu. Era honetan zutabe bakoitzeko elementuak diferentzia 6 duen segida aritmetiko baten gaiak dira, n-garren gaia zutabeka ondokoa delarik,

  1. Zutabea: an1 = 2+(n-1)·6 = 6n-4
  2. Zutabea: an2 = 3+(n-1)·6 = 6n-3
  3. Zutabea: an3 = 4+(n-1)·6 = 6n-2
  4. Zutabea: an4 = 5+(n-1)·6 = 6n-1
  5. Zutabea: an5 = 6+(n-1)·6 = 6n
  6. Zutabea: an6 = 7+(n-1)·6 = 6n+1

Zera ondorioztatzen da:
  • Lehenengo zutabeko elementuak konposatuak dira (2 ezik); orduan, ezabatu.
  • Bigarren zutabekoak konposatuak dira (3 ezik); ezabatu.
  • Hirugarren eta bostgarren zutabeak ezabatzen dira, zenbaki guztiak konposatuak direlako.
  • Aurreko puntuetan 2,3 eta 4 zenbakien multiploak ezabatu ditugu.
  • 5,10,15,20 diagonal batean daude (ezabatu 5 ezik).
  • Aurreko lerroarekiko paralelo eta beheruntza 5ko distantziara 25,30,35,40,45,50 aurkitzen dira (ezabatu). Hurrengokoan 55,60,65,...ezabatu. Era honetan jarraituta 5ren multiplo guztiak desagertzen dira.
  • Ezabatu bariko hurrengo zenbaki lehena 7 da. Honen multiplo guztiak 7ko distantziara dauden beste norabideko diagonaletan eta paraleloki kokatuta aurkituko ditugu (ezabatu).
  • Berdin jokatuko dugu 11, 13 eta abarren multiploekin.
  • Ezabatu gabe gelditzen direnak zenbaki lehenak dira.



Zenbaki lehen baten multiploak zuzen diagonaletan daude. Galdera:
Zein da holako zuzen bakoitzaren malda?



Amaitzeko zenbaki lehenak Adrián Paenzaren eskutik:







***** 

Matemagiaz blai (II)

Bederatzia zenbaki emankorra eta jolastia dugu. Hainbat zenbaki eta kartetako joku bederatziaren propietate berezietan oinarritzen dira. Gure zenbaki sitemaren oinarria den 10tik horren gertu egoteak (unitate batera) badu zerikusirik.
Ona hemen 9ren propietate miresgarrietan oinarritzen diren hainbat adibide:


BEDERATZIAREN MULTIPLOA

Jolastu lagun batekin ondoko eran,


  1. Bi zifrako zenbaki bat pentsatzeko esan (Ad.: 38)
  2. Zenbaki hori bider 10 egiteko (380)
  3. 90 baino txikiagoa den 9ren múltiplo bat aukeratzeko (18)
  4. Bigarren ataleko emaitzari kentzeko hirugarren atalean aukeratutakoa(380-18=362)
  5. Azkeneko emaitza esateko eskatu. Hasierako zenbakia erraz asmatuko duzu (36+2=38)
Nahikoa duzu bostgarren pausoan lagunak esandako zenbakia bitan banatzea: ehuneko eta hamarrekoen zifrek eratutako zenbakia eta unitateen zifra. Bi hauek batuz gero, hasierako zenbakia daukagu.

Baina zergaitik? Zein da joku honen azalpen matematikoa?

Aljebra apur bat erabiltzea besterik ez duzu:










EZABATUTAKO ZIFRA

Ikaskideen aurrean boluntario bat eskatu laguntzeko eta ondorengo pauso hauek jarraitzeko eskatu:

  • Pentsatu 4 zifrako zenbaki bat
  • Pentsatutako zenbakiaren zifren batura egin
  • Batura hori hasierako zenbakiari kendu
  • Kenketaren emaitzean zero ez den nahi duzun zifra ezabatu
  • Ezabatu gabeko zifrak nahi duzun ordenean esan ozenki.
Guztien harridurako, berehalako batean lagunak ezabatutako zifra zein den asmatu egingo duzu.

Nola? Zertan oinarritzen da?  (gogoratu zenbaki bat 9ren multiploa izateko baldintza)

Saia zaitez azalpena bilatzen. 








HIRU ZIFRAKO ZENBAKIA



Ikasle batek kapikua ez den hiru zifrako zenbaki bat aukeratu behar du. Ondoren, ehunekoen eta batekoen zifrak trukatu behar ditu zenbaki berri bat lortzeko. Aurreko bi zenbakien arteko diferentzia (handia ken txikia) kalkulatu eta diferentzia horren azkeneko zifra esaten badizu (berdin lehenengoarekin), diferentziaren beste bi zifrak asmatuko dituzu, guztiak aho zabalik utzita.





1089

Aurreko jokoaren aldaera bat da.
Aurretik iragarri azkeneko emaitza 1089 izango dela. Jarraian goiko jokuan egin dugun moduan jokatu. Kapikua ez den hiru zifrako zenbaki bat auketu (lehenengo zenbakia), ehunekoen eta batekoen zifrak trukatu (bigarrena),  diferentzia kalkulatu (hirugarrena), kenketaren emaitzean ere ehuneko eta batekoen zifrak trukatu (laugarrena) eta azkenik bi hauek (hirugarrena eta laugarrena) batu. Hortxen dago aurresan dugun zenbakia: 1089.

Adibidea:
  • 328 aukeratutako zenbakia (lehenengoa)
  • 823 Ehunekoen eta batekoen zifrak trukatuta (bigarrena)
  • 823-328=495 diferentzia (hirugarrena)
  • 594 Ehunekoen eta batekoen zifrak trukatuta (laugarrena)
  • 495+594=1089 hirugarrena eta laugarrena batuz


Ea asmatzen duzun zergatia. Gogoratu hiru zifrako zenbaki baten idazkera hamarren berreduren menpe:  abc=100a+10b+c eta cba=100c+10b+a.





 Suma  aldizkarian (52 zenbakian) 9ren magia duzue "Grupo Alquerque de Sevilla"ren eskutik "La Magia del Nueve" artikuluan.

2016-10-11

Ehiza kartesiarra


Esnatu zure arima matematikoa ondoren datorren jokoan estrategia irabazlea aurkitzeko.

Honako 8x8 neurriko taulan jokatuko da:



Hauek dira jokoaren arauak:
  • Beheko eta ezkerreko laukian fitxa bat jarriko da. 
  • Bi jokalarik (A eta B izenekoak) jokatuko dute.
  • A jokalaria hasiko da eta txandaka jokalari bakoitzak fitxa mugituko du ondoko lauki batera.
  • Baimendutako mugimenduak: gora, eskumara eta diagonalean, irudian ikusten den eran.
  • Helmugara iristen den lehena irabazlea izango da.

Bururatzen al zaizu estrategia bat beti irabazteko?
Zeinek dauka estrategia irabazleak? A Lehenengo jokalariak ala  B bigarrenak?

Eta beste taula honetan jokatzen bada?



Eta hirugarren honekin?








AZALPENA

Kasu errazagoak aztertuko ditugu: 2x2, 3x3, 4x4,...


2x2koa 3x3koan txertatzen da, 3x3koa 4x4koan,...

2X2koan A-k irabazi.
3X3koan A-k galdu.  
4X4koan A-k irabazi.
5X5koan A-k galdu.  
·························  
8X8koan A-k irabazi.


Berdez margotu dira posizio irabazleak; hau da, bere txandan fitxa lauki berde batean aurkitzen duena, irabazteko asmoarekin jokatzen badu, irabaziko du aurkariari fitxa lauki gorri batean uzten badio.
Beraz, lauki irabazleak berdez margotu dira eta galtzaileak gorriz. Lauki berde batetik aukera dago fitxa lauki gorrira eramateko (edo azkeneko mugimenduan helmugara). Lauki gorri batetik derrigorrez berdera igarotzen da, eta horrela, aurkariak irabaziko du.


Estrategia hau 8x8ko kasura zabalduz:



Beraz, lehenengo jokalariak estrategia irabazlea dauka.

Eta bigarren taularekin jokatzen bada? Eta hirugarrenarekin? Zeinek irabaziko luke?

Asmatu zuek beste tablero batzuk eta aurkitu estrategia irabazlea.





*****