Bigarren mailako ekuazio hau emanda:
Zera eskatzen da:
a, b eta c koefizienteak zenbaki bakoitiak badira, egiaztatu ekuazioak ezin duela soluzio arrazionalik izan; hau da, ez duela p/q (non p eta q≠0 zenbaki osoak diren) erako soluziorik.
EGIAZTAPENA
*****
Hau da niri bururatu zaidana; ea balekoa den...
ErantzunEzabatuPolinomioak r = p/q motako erroa BADUELA suposatuko dugu, non p/q zatikia laburtu egin dugun (zkh(p,q) = 1). Erro hori bigarren mailako ekuazioan ordezkatuz eta pixka bat moldatuz zera lortu dut:
a·p^2 + b·p·q + c·q^2 = 0 (r erroak bete baherreko baldintza)
Badakigu a, b eta c bakoitiak direla. Baina nolakoak dira p eta q? p edo q bikoitia izan daiteke baina ez biak aldiberean (bestela zkh(p,q)!=1 litzateke). Hortaz hiru aukera ditugu (banan bana aztertuko ditut):
a) p bikoitia eta q bakoitia badira:
a·p^2 + b·p·q + c·q^2 adierazpenean a·p^2 eta b·p·q batugaiak bikoitiak dira. Beraz, a·p^2 + b·p·q batura ere bikoitia da (edo zero, bestela) baina c·q^2 gaia bakoitia da eta ezinezkoa da adierazpenaren balioa (hiru gaien batura) zero izatea. Alegia, kasu honetan a·p^2 + b·p·q + c·q^2 != 0 genuke eta r = p/q EZ litzateke erroa.
b) p bakoitia eta q bikoitia badira:
a·p^2 + b·p·q + c·q^2 adierazpenean b·p·q eta b·q^2 batugaiak bikoitiak dira. Beraz, b·p·q + b·q^2 batura ere bikoitia da (edo zero, bestela) baina a·p^2 gaia bakoitia da eta ezinezkoa da adierazpenaren balioa (hiru gaien batura) zero izatea. Alegia, kasu honetan a·p^2 + b·p·q + c·q^2 != 0 genuke eta r = p/q EZ litzateke erroa.
c) p eta q bakoitiak badira:
a·p^2 + b·p·q + c·q^2 adierazpenean hiru gaiak (a·p^2, b·p·q eta b·q^2) bakoitiak dira. Beraz, b·p·q + b·q^2 batura bikoitia da (edo zero, bestela) baina a·p^2 gaia bakoitia denez, ezinezkoa da adierazpenaren balioa (hiru gaien batura) zero izatea. Alegia, kasu honetan a·p^2 + b·p·q + c·q^2 != 0 genuke eta r = p/q EZ litzateke erroa.
Laburbilduz, gure ekuazioko erroak ezin dira p/q motakoak izan (p eta q zenbaki osoak izanik), frogatu nahi genuen bezala.
Gaur 2018-06-23 dugu eta hau idazten ari naizen bitartean BEC-en bigarren hezkuntzako oposaketa burutzen ari da...Animo azterketak egiten ari diren guztiei!